Kompaktheit und das Supremum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Gedro |
| Aufgabe | a)
Seien X und Y kompakte metrische Räume, [mm] f:XxK\to \IR [/mm] stetig. Zeige, dass
g: [mm] X\to\IR, x\mapsto sup\{f(x,y) | y\in Y\}
[/mm]
stetig ist
b)
Beweise, dass die Aussage a) auch gilt, wenn X lokal kompakt ist. |
Hallo,
also bezüglich der Aufgabe a) habe ich mir bereits folgendes überlegt:
1) Da X und K kompakt sind, gilt nach Tychonoff, dass XxK kompakt ist
2) Da f stetig und XxK kompakt, ist f(XxK) kompakt
3) Da f(XxK) kompakt, gilt nach Heine Borel, dass f(XxK) abgeschlossen und beschränkt ist
4) Da f(XxK) beschränkt ist existiert das Supremum von [mm] sup\{f(x,y) |x\inX, y\in Y\} [/mm] in f(XxK), also kann ich g auch folgendermaßen betrachten:
g(x) = [mm] max\{f(x,y) | y\in Y \}
[/mm]
Ich versuche mir das im dreidimensionalen vorzustellen und es ist mir irgendwo klar, dass das gilt. Anschaulich ist g ja nur einen Schnitt durch die dreidimensionale Funktion entlang seiner Maxima für jedes [mm] x\in [/mm] X.
Mir ist nur ein Rätsel, was Kompaktheit damit zu tun hat. Wenn ich z.b. für X und Y offene Mengen aus [mm] \IR [/mm] nehme, also XxK nicht mehr kompakt, und f weiterhin stetig ist, dann wird mir irgendwie nicht klar warum g nicht weiterhin stetig sein kann. In diesem Fall müssten ja die Ränder von f betrachtet werden, aber da f stetig ist, wird f an den Rändern nicht ausarten.
Deshalb fällt mir ein Beweis, der die Kompaktheit ausnutzt, nicht ein, da mir ihre Rolle an dieser Stelle nicht klar wird.
Dass aber die Kompaktheit eine zentrale Rolle spielt, vermute ich wegen der Folgeaufgabe b).
Diese würde ich folgendermaßen zeigen:
Da X lokal kompakt ist exisitiert für jedes [mm] x\in [/mm] X eine kompakte Umgebung [mm] U_{x}. [/mm] Also ist [mm] U_{x} [/mm] x K kompakt und nach a) gilt, dass
[mm] g_{x}:U_{x}\to\IR [/mm] stetig ist. Es existiert eine offene Menge [mm] O_{x}\subset U_{x} [/mm] mit [mm] x\in O_{x}, [/mm] also ist auch [mm] g_{x}':O_{x}\to\IR [/mm] stetig.
Da für jedes [mm] x\inX [/mm] solch eine offene Umgebung existiert , lässt sich eine offene Überdeckung von X finden für die alle [mm] g_{x}' [/mm] stetig sind, also ist auch g stetig.
Meine Frage ist jetzt also, was die Kompaktheit in a) für eine Rolle spielt und wie ich an den Beweis dran gehen kann.
Gruß,
Gedro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 19.05.2012 | | Autor: | SEcki |
Siehe diesen Thread für einiges zu dem Thema. Probier damit, dein Problem auf deinen konkreten fall zu übertragen.
Eine Frage noch: hast du oben K und Y zusammengeworfen?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 So 20.05.2012 | | Autor: | Gedro |
Vielen dank für den Link! Ich habe die entsprechende Frage gefunden.
Mir ist auch gerade unter der Dusche eingefallen, dass die Funktion auf jedenfall an den Rändern ausarten kann, man muss sich ja nur das triviale Beispiel [mm] \bruch{1}{x} [/mm] anschauen... oh man, oh man... :D
Dann ist auch klar was die Kompaktheit hier für eine Rolle spielt und ich habe im Endeffekt ja schon alles gegeben für den Beweis.
Danke nochmal!
Achja, Y und K habe ich tatsächlich durcheinander geworfen. :/ Es gilt also Y = K.
Gruß,
Gedro
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