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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 So 06.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen...
ich habe leider ein riesen Problem mit folgender Aufgabe:
Entscheide, ob folgende Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] kompakt ist:
[mm] \{(x,y,z) | cos(x)+sin(y)=1 \}
[/mm]
Für Kompakt gilt: Die Menge muss abgeschlossen und beschränkt sein...
Leider tu ich mich nun ein wenig schwer mit dem Lösungsansatz. Ist es sinnvoll sich eine Skizze zu dieser Menge zu machen oder kann ich auch wie folgt argumentieren:
Die Menge ist abgeschlossen, da der Rand in der Menge enthalten ist (gegeben mit 1).
Die Menge ist nicht beschränkt, da sie unendlich viele k [mm] \in \IZ [/mm] besitzt, für die sie den Wert 1 annimmt.
Die Menge ist somit nicht kompakt
Kann man eigentlich auch cos(x)+sin(y)=z setzen???
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen...
>
> ich habe leider ein riesen Problem mit folgender Aufgabe:
>
> Entscheide, ob folgende Teilmenge des [mm]\IR^3[/mm] kompakt ist:
>
> [mm]\{(x,y,z) | cos(x)+sin(y)=1 \}[/mm]
>
> Für Kompakt gilt: Die Menge muss abgeschlossen und
> beschränkt sein...
>
> Leider tu ich mich nun ein wenig schwer mit dem
> Lösungsansatz. Ist es sinnvoll sich eine Skizze zu dieser
> Menge zu machen oder kann ich auch wie folgt
> argumentieren:
>
> Die Menge ist abgeschlossen, da der Rand in der Menge
> enthalten ist (gegeben mit 1).
Das ist Wischi-Waschi und taugt nix !
Nimm eine konvergente Folge [mm] ((x_n,y_n,z_n)) [/mm] aus der Menge her und zeige, dass der GW dieser Folge wieder zur Menge gehört.
>
> Die Menge ist nicht beschränkt, da sie unendlich viele k
> [mm]\in \IZ[/mm] besitzt, für die sie den Wert 1 annimmt.
Möglicherweise meinst Du das Richtige. Aber Du drückst es völlig verkorkst aus.
die Menge
[mm] $\{(2k* \pi,0,0): k \in \IZ\}$
[/mm]
ist Teilmenge der zu untersuchenden Menge.
>
> Die Menge ist somit nicht kompakt
>
> Kann man eigentlich auch cos(x)+sin(y)=z setzen???
Nein.
FRED
>
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mo 07.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für deine Antwort.
Also...
Es soll herausgefunden werden, ob folgende Menge des [mm] \IR^3 [/mm] kompakt ist:
[mm] \{(x,y,z) | cos(x)+sin(y)=1 \}
[/mm]
Eine Menge gilt als kompakt, falls sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Ich soll nun eine konvergente Folge des [mm] ((x_n,y_n,z_n)) [/mm] aus der Menge hernehmen und zeigen, dass der Grenzwert dieser Folge wieder zur Menge gehört.
Die Gleichung cos(x)+sin(y)=1 wird erfüllt durch:
cos(x)=0, sin(y)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 0+1=1
cos(x)=1, sin(y)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1+0=1
Es ergeben sich somit folgende konvergente Folgen:
cos(x)=0 für [mm] x=\pi(\bruch{1}{2}+k) [/mm] für k [mm] \in \IZ
[/mm]
sin(y)=1 für [mm] y=\pi(\bruch{1}{2}+2k) [/mm] für k [mm] \in \IZ
[/mm]
cos(x)=1 für [mm] x=2k\pi [/mm] für k [mm] \in \IZ
[/mm]
sin(y)=0 für [mm] k\pi [/mm] für k [mm] \in \IZ
[/mm]
Ich entscheide mich nun für folgende Teilmenge:
[mm] x_n=2k\pi
[/mm]
[mm] y_n=k\pi
[/mm]
[mm] z_n=0
[/mm]
es ergibt sich somit die Teilmenge:
[mm] (2k\pi, k\pi, [/mm] 0)
Aber inwiefern hilft mir das nun eine Entscheidung darüber zu treffen, ob die Menge abgeschlossen oder beschränkt ist???
mfg thadod
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für deine Antwort.
>
> Also...
>
> Es soll herausgefunden werden, ob folgende Menge des [mm]\IR^3[/mm]
> kompakt ist:
>
> [mm]\{(x,y,z) | cos(x)+sin(y)=1 \}[/mm]
>
> Eine Menge gilt als kompakt, falls sie abgeschlossen und
> beschränkt ist.
>
> Ich soll nun eine konvergente Folge des [mm]((x_n,y_n,z_n))[/mm] aus
> der Menge hernehmen und zeigen, dass der Grenzwert dieser
> Folge wieder zur Menge gehört.
>
> Die Gleichung cos(x)+sin(y)=1 wird erfüllt durch:
>
> cos(x)=0, sin(y)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] 0+1=1
> cos(x)=1, sin(y)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 1+0=1
>
> Es ergeben sich somit folgende konvergente Folgen:
>
> cos(x)=0 für [mm]x=\pi(\bruch{1}{2}+k)[/mm] für k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> sin(y)=1 für [mm]y=\pi(\bruch{1}{2}+2k)[/mm] für k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> cos(x)=1 für [mm]x=2k\pi[/mm] für k [mm]\in \IZ[/mm]
> sin(y)=0 für [mm]k\pi[/mm]
> für k [mm]\in \IZ[/mm]
Das ist doch völliger Unfug !!
>
> Ich entscheide mich nun für folgende Teilmenge:
> [mm]x_n=2k\pi[/mm]
> [mm]y_n=k\pi[/mm]
> [mm]z_n=0[/mm]
Was machst Du da ????
>
> es ergibt sich somit die Teilmenge:
> [mm](2k\pi, k\pi,[/mm] 0)
>
> Aber inwiefern hilft mir das nun eine Entscheidung darüber
> zu treffen, ob die Menge abgeschlossen oder beschränkt
Dass obige Menge nicht beschränkt ist, hatten wir doch geklärt !
Geben wir dem Kind einen Namen: [mm]A= \{(x,y,z) \in \IR^3 | cos(x)+sin(y)=1 \}[/mm]
Es gilt: A ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] ((x_n,y_n,z_n)) [/mm] aus A ist auch lim [mm] (x_n,y_n,z_n) \in [/mm] A.
Sei also [mm] ((x_n,y_n,z_n)) [/mm] eine konv. Folge aus A und [mm] (x_0,y_0,z_0) [/mm] ihr Limes.
Dann: [mm] x_n \to x_0, y_n \to y_0 [/mm] und [mm] z_n \to z_0
[/mm]
Es gilt: [mm] cos(x_0)+sin(y_0)= [/mm] lim( [mm] cos(x_n)+sin(y_n)) [/mm] (warum ?)
Wegen [mm] cos(x_n)+sin(y_n)=1 [/mm] für alle n , haben wir [mm] cos(x_0)+sin(y_0)=1 [/mm] und damit
[mm] (x_0,y_0,z_0) \in [/mm] A
FRED
> ist???
>
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mo 07.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für die Hilfe...
Ich würde das ganze nun ganz gerne nochmal Zusammenfassen, da ich das Gefühl habe, dass ich einiges durcheinander bringe.
Ich versuche zunächst zu untersuchen, ob die Menge abgeschlossen ist oder nicht.
Es gilt: A ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] ((x_n,y_n,z_n)) [/mm] aus A ist auch lim [mm] (x_n,y_n,z_n) \in [/mm] A.
Lösungsansatz:
Ich suche eine konvergente Folge, dessen lim bzw. Grenzwert ebenfalls in der Menge enthalten ist.
Ich will da jetzt nicht einfach drauf losraten, da meine bisherigen Ansätze ja sowieso Schwachsinn waren...
Mal gucken, ob ich das jetzt richtig verstanden habe (Wahrscheinlich nicht)
Die Folge [mm] (\bruch{1}{k},0,0) [/mm] konvergiert in der Folge [mm] A=\{(x,y,z) \in \IR^3 | cos(x)+sin(y)=1 \} [/mm] gegen (1,0,0) [mm] \in [/mm] A. Somit ist die Menge A abgeschlossen
mfg thadod
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für die Hilfe...
>
> Ich würde das ganze nun ganz gerne nochmal Zusammenfassen,
> da ich das Gefühl habe, dass ich einiges durcheinander
> bringe.
>
> Ich versuche zunächst zu untersuchen, ob die Menge
> abgeschlossen ist oder nicht.
>
> Es gilt: A ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente
> Folge [mm]((x_n,y_n,z_n))[/mm] aus A ist auch lim [mm](x_n,y_n,z_n) \in[/mm]
> A.
>
> Lösungsansatz:
>
> Ich suche eine konvergente Folge, dessen lim bzw. Grenzwert
> ebenfalls in der Menge enthalten ist.
Oh mein Gott ! Solch eine Folge findest Du immer !!!! Nimm X [mm] \in [/mm] A und setze [mm] X_n:=X [/mm] für jedes n.
Nochmal:
A ist abgeschlossen $ [mm] \gdw [/mm] $ für jede konvergente Folge $ [mm] ((x_n,y_n,z_n)) [/mm] $ aus A ist auch lim $ [mm] (x_n,y_n,z_n) \in [/mm] $ A.
Du mußt also keine Folge suchen oder ähnlichen Quatsch veranstalten, sondern um die Abgeschlossenheit nachzuweisen mußt Du ganz allgemein zeigen:
für jede konvergente Folge $ [mm] ((x_n,y_n,z_n)) [/mm] $ aus A ist auch lim $ [mm] (x_n,y_n,z_n) \in [/mm] $ A.
>
> Ich will da jetzt nicht einfach drauf losraten, da meine
> bisherigen Ansätze ja sowieso Schwachsinn waren...
>
> Mal gucken, ob ich das jetzt richtig verstanden habe
> (Wahrscheinlich nicht)
>
> Die Folge [mm](\bruch{1}{k},0,0)[/mm] konvergiert in der Folge
> [mm]A=\{(x,y,z) \in \IR^3 | cos(x)+sin(y)=1 \}[/mm] gegen (1,0,0)
> [mm]\in[/mm] A. Somit ist die Menge A abgeschlossen
Mit Verlaub: das ist kolossaler Blödsinn
FRED
>
>
> mfg thadod
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mo 07.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo...
Aber wie kann ich das allgemein zeigen. Ich steh da grad echt auf dem Schlauch. So leid mir das tut.
mfg thadod
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo...
>
> Aber wie kann ich das allgemein zeigen. Ich steh da grad
> echt auf dem Schlauch. So leid mir das tut.
Ist das die Möglichkeit ? Vor ca. 2 Stunden hab ich Dir das hier
https://matheraum.de/read?i=834453
vorgemacht !!
FRED
>
> mfg thadod
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mo 07.11.2011 | | Autor: | thadod |
Danke...
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