Komplexe Abbildung surjektiv? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Do 14.01.2016 | | Autor: | Orchis |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zu einer komplexen Abbildung, die ich etwas besser verstehen will (S² ist als Riemannsche Zahlenkugel [mm] \IC \cup \{\infty\} [/mm] zu verstehen):
p: S² [mm] \to [/mm] S²
z [mm] \mapsto \frac{z^k}{|z^{k-1}|}.
[/mm]
Also ich habe bemerkt, dass diese Abbildung normerhaltend ist und somit einen Punkt auf der Sphäre wieder auf einen Punkt auf der Sphäre abbildet (d.h. die Abbildung ist wohldefiniert).
1. Frage: Liegt der Bildpunkt zwangsläufig wieder auf dem selben Breitenkreis wie z? Nein, oder?
Außerdem frage ich mich, ob die Abbildung surjektiv ist...
Hintergrund der Frage: Ich hatte gedacht, dass diese Abbildung vllt. sogar eine Überlagerung von S² ist und da ich im Internet bei einer Definition von "Überlagerung" gelesen hatte, dass die Abbildung surjektiv sein müsse (muss sie das wirklich? Kann man das nicht eigentlich auch ohne sinnvoll definieren?) kommt es ja nun darauf an, ob p surjektiv ist.
Ach ja, wohin werden eigentlich 0 bzw. [mm] \infty [/mm] durch p abgebildet?
Vielen Dank für eure Unterstützung!
Orchis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
Ich höre auch (?) gerade Funktionentheorie, vielleicht kommen wir ja zusammen zu was.
Brächte es vielleicht was, das in [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] zu untersuchen?
Bei [mm] $\infty$, [/mm] kann man da nicht [mm] $w:=\frac{1}{z}$ [/mm] betrachten und dann in w=0 untersuchen, was passiert?
Viele Grüße,
Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Orchis |
Hi! :)
Funktionentheorie höre ich gerade nicht (ist aber bestimmt sehr spannend!). Das ist im Grunde genommen durch eine Fragestellung aus der Topologie motiviert, aber ich dachte irgendwie dass das ganz gut in den Funktionentheorie-Kanal passt.
Ok, also so wie ich die Abbildung hingeschrieben habe ist sie glaube ich doch noch nicht wohldefiniert und momentan noch eine Abbildung
[mm] \IC \to \IC.
[/mm]
Diese erweitert aber zu einer Abbildung [mm] S^2 \to S^2, [/mm] indem man noch [mm] \infty \mapsto \infty [/mm] fordert. Und da die Abbildung in 0 nicht definiert ist, könnte man doch 0 [mm] \mapsto [/mm] 0 fordern. Diese Abbildung ist offensichtlich stetig (Wenn wir eine 0-Folge betrachten, geht wegen der Normerhaltung auch das Bild gegen 0).
Also betrachten wir jetzt die Abbildung
p: [mm] S^2 \to S^2
[/mm]
z [mm] \mapsto z^k/|z^{k-1}|
[/mm]
0 [mm] \mapsto [/mm] 0
[mm] \infty \mapsto \infty.
[/mm]
Es bleibt nun die Frage, ob die Abbildung surjektiv ist. Ich weiß nicht wie man das sehen kann...
Viele Grüße,
Orchis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Ja, mit deinen neuen Setzungen sehe ich kein Problem. ;)
Jetzt bleibt also zu klären, ob es surjektiv ist.
Wie wäre es da konstruktiv vorzugehen und zu sagen sei $z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] bel., dann wähle [mm] $z=\frac{\tilde{z}^k}{|\tilde{z}|^{k-1}}$, [/mm] dann müsste für [mm] $z=r\exp(i\phi)$ [/mm] doch [mm] $\tilde{z}=r \exp(i\frac{\phi}{k})$ [/mm] gelten, wenn ich nicht irre und damit wäre es surjektiv, oder habe ich einen Denkfehler?
Viel Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Orchis |
Hey! Du hast vollkommen Recht. Es gibt zu jedem z eine k-te komplexe Wurzel. Ich war irgendwie gedanklich zu sehr mit der Sphäre beschäftigt. Dank dir, auch wenn meine Frage rückblickend irgendwie doof war :D.
Wünsche dir noch viel Erfolg in Funktionentheorie!!!
Grüße,
Orchis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Fr 15.01.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
und deine Kugel wird k fach überdeckt, jeder Breitenkreis auf sich aber k-fach, die Pole auf sch selbst
Grüß ledum
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