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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Di 06.09.2011 | | Autor: | IG0R |
Ich habe ein 2D-System von komplexen Differentialgleichungen gegeben
x' = [mm] \lambda [/mm] (y - [mm] x^2 [/mm] y*)
y' = [mm] (1-\lambda)/2 [/mm] (x [mm] e^{i \gamma} [/mm] - [mm] y^2 [/mm] x* [mm] e^{-i \gamma})
[/mm]
Dieses soll in ein 3D-System überführt werden, indem die Beträge [mm] \rho [/mm] = |x|, [mm] \sigma [/mm] = |y| und das Argument [mm] \Psi [/mm] = arg(y) -arg(x) eingeführt werden. (Wobei * für komplex konjugiert stehen soll)
Man erhält so:
[mm] \rho' [/mm] = [mm] \lambda (1-\rho^2) \sigma cos(\Psi)
[/mm]
[mm] \sigma' =\frac{1-\lambda}{2} \rho(1-\sigma^2) cos(\Psi [/mm] - [mm] \gamma)
[/mm]
[mm] \Psi' [/mm] = [mm] \frac{\lambda -1}{2} \rho \frac{1+\sigma^2}{\sigma} sin(\Psi-\gamma) -\lambda \frac{1+\rho^2}{\rho} \sigma sin(\Psi)
[/mm]
Jetzt meine Frage: Kann mir jemand vielleicht ein paar Tipps geben wie ich diese Umformung nachvollziehen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Di 06.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe ein 2D-System von komplexen
> Differentialgleichungen gegeben
>
> x' = [mm]\lambda[/mm] (y - [mm]x^2[/mm] y*)
> y' = [mm](1-\lambda)/2[/mm] (x [mm]e^{i \gamma}[/mm] - [mm]y^2[/mm] x* [mm]e^{-i \gamma})[/mm]
>
> Dieses soll in ein 3D-System überführt werden, indem die
> Beträge [mm]\rho[/mm] = |x|, [mm]\sigma[/mm] = |y| und das Argument [mm]\Psi[/mm] =
> arg(y) -arg(x) eingeführt werden. (Wobei * für komplex
> konjugiert stehen soll)
>
> Man erhält so:
>
> [mm]\rho'[/mm] = [mm]\lambda (1-\rho^2) \sigma cos(\Psi)[/mm]
> [mm]\sigma' =\frac{1-\lambda}{2} \rho(1-\sigma^2) cos(\Psi[/mm]
> - [mm]\gamma)[/mm]
> [mm]\Psi'[/mm] = [mm]\frac{\lambda -1}{2} \rho \frac{1+\sigma^2}{\sigma} sin(\Psi-\gamma) -\lambda \frac{1+\rho^2}{\rho} \sigma sin(\Psi)[/mm]
>
> Jetzt meine Frage: Kann mir jemand vielleicht ein paar
> Tipps geben wie ich diese Umformung nachvollziehen kann?
Schreibe [mm] $x=\rho e^{i arg(x)} [/mm] $ und [mm] $y=\sigma e^{i arg(y)}$, [/mm] setze ein und zerlege nach Real- und Imaginärteil.
Beachte dabei, dass z.B. [mm] $x'=\rho'e^{i arg(x)} +i\rho e^{i arg(x)} [/mm] *(arg(x))'$ ist .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Mi 07.09.2011 | | Autor: | IG0R |
Vielen Dank schon einmal. Das hat mich auf jeden Fall sehr weiter gebracht.
Eine Frage hätte ich aber noch, wenn ich die innere Ableitung von [mm] e^{i*arg(x)} [/mm] bestimme, dann bekomme ich ja arg(x)', das wäre dann arg'(x) x' oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Do 08.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank schon einmal. Das hat mich auf jeden Fall sehr
> weiter gebracht.
>
> Eine Frage hätte ich aber noch, wenn ich die innere
> Ableitung von [mm]e^{i*arg(x)}[/mm] bestimme, dann bekomme ich ja
> arg(x)', das wäre dann arg'(x) x' oder nicht?
Nein, hier nicht, weil arg(x) und arg(y) unabhängige Variablen sind, ebenso wie [mm] $\rho$ [/mm] und [mm] $\sigma$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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