Komplexe Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $a>0$ reell. Sei $f$ gegeben durch $f: [mm] C\backslash\{0\}\rightarrow [/mm] C$ durch [mm] $f(z)=|z|^2+\frac{a^2}{|z|^2}$.
[/mm]
Aufgabe: Bestimme alle Stellen $z$, an denen f komplex differenzierbar ist. |
Hallo, ich würde die Differenzierbarkeit gerne mit der Cauchy-Riemann-DGL untersuchen. Ich habe herausgefunden, dass die Funktion auf die reellen Zahlen abbildet, d.h. $f(x+i*y)= u(x,y)+i*v(x,y)$ mit $v(x,y)=0$ und [mm] $u(x,y)=x^2+y^2+\frac{a^2}{x^2+y^2}$.
[/mm]
Dann habe ich die partiellen Ableitungen berechnet:
[mm] $u_x=2x-a^2*\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
[mm] $u_y=2y-a^2*\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
[mm] $v_x=0$ [/mm] und [mm] $v_y=0$
[/mm]
Laut DGL müsste dann [mm] $u_x=0$ [/mm] und [mm] $u_y=0$ [/mm] gelten. Ich weiß aber nicht, wie ich das auflösen kann und finde nur die Lösung $x=y=0$, die aber ja ausgeschlossen ist.
Mich verwirrt, dass ich die Stellen suchen soll, IN DENEN f komplex differenzierbar ist. Ist der Weg bis hierhin richtig? Hat jemand einen Rat, wie es weiter geht? Dankeschön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Fr 03.05.2024 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a>0[/mm] reell. Sei [mm]f[/mm] gegeben durch [mm]f: C\backslash\{0\}\rightarrow C[/mm]
> durch [mm]f(z)=|z|^2+\frac{a^2}{|z|^2}[/mm].
>
> Aufgabe: Bestimme alle Stellen [mm]z[/mm], an denen f komplex
> differenzierbar ist.
> Hallo, ich würde die Differenzierbarkeit gerne mit der
> Cauchy-Riemann-DGL untersuchen. Ich habe herausgefunden,
> dass die Funktion auf die reellen Zahlen abbildet, d.h.
> [mm]f(x+i*y)= u(x,y)+i*v(x,y)[/mm] mit [mm]v(x,y)=0[/mm] und
> [mm]u(x,y)=x^2+y^2+\frac{a^2}{x^2+y^2}[/mm].
>
> Dann habe ich die partiellen Ableitungen berechnet:
> [mm]u_x=2x-a^2*\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> [mm]u_y=2y-a^2*\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> [mm]v_x=0[/mm] und [mm]v_y=0[/mm]
>
> Laut DGL müsste dann [mm]u_x=0[/mm] und [mm]u_y=0[/mm] gelten. Ich weiß
> aber nicht, wie ich das auflösen kann und finde nur die
> Lösung [mm]x=y=0[/mm], die aber ja ausgeschlossen ist.
>
> Mich verwirrt, dass ich die Stellen suchen soll, IN DENEN f
> komplex differenzierbar ist. Ist der Weg bis hierhin
> richtig? Hat jemand einen Rat, wie es weiter geht?
> Dankeschön!
Tipp
für $x [mm] \ne [/mm] 0$ liefert die erste Gleichung
[mm] x^2+y^2=a
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke fred97,
mit dem Tipp und meinem Ansatz habe ich es dann irgendwann hinbekommen. Danke!
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