Komplexe Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Pikhand |
| Aufgabe | f(z)= cos(u)cosh(v)-isin(u)sinh(v)
Ist die Funktion komplex differenzierbar?
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Ich bin bei der Antwort darauf nach Cauchy-Riemann vorgegangen, dabei bekomme ich folgendes heraus:
d(Ref)/du=-sin(u)cosh(v)
d(Ref)/dv=cos(u)sinh(v)
d(Imf)/du=-cos(u)sinh(v)
d(Imf)/dv=-cosh(v)sin(u)
--> (1) cos(u)sinh(v)=-cos(u)sinh(v)
(2) -sin(u)cosh(v)=-cosh(v)sin(u)
(1) ist ja wohl nicht korrekt, habe ich da einfach etwas falsch gemacht? Oder wenn nicht, was bedeutet das jetzt für meine Funktion?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo PikHand,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> f(z)= cos(u)cosh(v)-isin(u)sinh(v)
> Ist die Funktion komplex differenzierbar?
>
> Ich bin bei der Antwort darauf nach Cauchy-Riemann
> vorgegangen, dabei bekomme ich folgendes heraus:
>
> d(Ref)/du=-sin(u)cosh(v)
> d(Ref)/dv=cos(u)sinh(v)
> d(Imf)/du=-cos(u)sinh(v)
> d(Imf)/dv=-cosh(v)sin(u)
>
> --> (1) cos(u)sinh(v)=-cos(u)sinh(v)
> (2) -sin(u)cosh(v)=-cosh(v)sin(u)
>
> (1) ist ja wohl nicht korrekt, habe ich da einfach etwas
> falsch gemacht? Oder wenn nicht, was bedeutet das jetzt für
> meine Funktion?
Da ist ein Minuszeichen verlorengegangen:
[mm](1) \bruch{\partial \operatorname{Re} \ f\left(z\right)}{\partial v}=cos(u)sinh(v)=\red{-}\left(\ -cos(u)sinh(v) \ \right)=-\bruch{\partial \operatorname{Im} \ f\left(z\right)}{\partial u}[/mm]
> Vielen Dank für eure Hilfe.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Pikhand |
| Aufgabe | Vielen Dank für die schnelle Antwort :).
Ich komme mir ziemlich dumm vor, dass ich jetzt noch was dazu fragen muss, aber ich musste mir das Thema bis jetzt per Wikipedia selbst beibringen.
Die nächste Funktion lautet:
f(z)=sin(u)cosh(v)-icos(u)sinh(v)
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Für die Funtkion bekomme ich folgende Beziehungen (jetzt auch mit hoffentlich richtigen Vorzeichen) heraus:
cos(u)cosh(v)=-cos(u)cosh(v) <=> cos(u)=-cos(u)
und:
sin(u)sinh(v)=-sin(u)sinh(v) <=> sin(u)=-sin(u)
was ja niemals beides gleichzeitig der Fall sein kann.
Wenn ich jetzt aber f(z) einfach umschreiben würde in
f(z)=cosh(u)sin(v)-isinh(u)cos(v)
kämen ja nur erfüllbare Beziehungen nach Cauchy-Riemann heraus.
Ich vermute mal, man darf die Funktion nicht einfach so umformen, aber warum nicht?
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Hallo Pikhand,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort :).
> Ich komme mir ziemlich dumm vor, dass ich jetzt noch was
> dazu fragen muss, aber ich musste mir das Thema bis jetzt
> per Wikipedia selbst beibringen.
> Die nächste Funktion lautet:
>
> f(z)=sin(u)cosh(v)-icos(u)sinh(v)
>
> Für die Funtkion bekomme ich folgende Beziehungen (jetzt
> auch mit hoffentlich richtigen Vorzeichen) heraus:
>
> cos(u)cosh(v)=-cos(u)cosh(v) <=> cos(u)=-cos(u)
>
> und:
>
> sin(u)sinh(v)=-sin(u)sinh(v) <=> sin(u)=-sin(u)
Hier muß stehen:
[mm]sin(u)sinh(v)=-\left( \ -sin(u)sinh(v) \ \right)=sin(u)sinh(v)[/mm]
>
> was ja niemals beides gleichzeitig der Fall sein kann.
> Wenn ich jetzt aber f(z) einfach umschreiben würde in
>
> f(z)=cosh(u)sin(v)-isinh(u)cos(v)
>
> kämen ja nur erfüllbare Beziehungen nach Cauchy-Riemann
> heraus.
> Ich vermute mal, man darf die Funktion nicht einfach so
> umformen, aber warum nicht?
>
Aus den Cauchy-Riemannschen DGL'n bekommst Du hier Bedingungen,
was gelten muß damit f(z) komplex differnzierbar ist.
Und hier gilt das nur in bestimmten Punkten.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:27 So 18.01.2009 | | Autor: | Pikhand |
Hmm, das ist mir nicht ganz ersichtlich, sorry.
Ich schreibe mal meinen ganzen Weg auf:
[mm] \bruch{\partial(Ref)}{\partial u}=\cos(u) \cosh(v)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial(Ref)}{\partial v}=\sin(u) \sinh(v) [/mm]
[mm] \bruch{\partial(Imf)}{\partial u}=\sin(u) \sinh(v) [/mm]
[mm] \bruch{\partial(Imf)}{\partial v}=-\cos(u) \cosh(v) [/mm]
---> [mm] \bruch{\partial(Ref)}{\partial u}=\bruch{\partial(Imf)}{\partial v}
[/mm]
und [mm] \bruch{\partial(Ref)}{\partial v}=-\bruch{\partial(Imf)}{\partial u}
[/mm]
bzw.:
[mm] \cos(u) \cosh(v)=-\cos(u) \cosh(v) [/mm]
und
[mm] \sin(u) \sinh(v)=-\sin(u) \sinh(v) [/mm]
Ich sehe zumindest in den Ableitungen keinen Fehler, aber vielleicht habe ich ja auch irgendwas bei Cauchy-Riemann falsch verstanden.
Falls es so sein sollte, würde ich mich über einen Link zu einer ausführlich erklärenden Seite mit ein paar Beispielen freuen, dann brauche ich euch nicht länger damit auf den Geist zu gehen :).
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Hallo Pikhand,
> Hmm, das ist mir nicht ganz ersichtlich, sorry.
> Ich schreibe mal meinen ganzen Weg auf:
>
> [mm]\bruch{\partial(Ref)}{\partial u}=\cos(u) \cosh(v)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial(Ref)}{\partial v}=\sin(u) \sinh(v)[/mm]
> [mm]\bruch{\partial(Imf)}{\partial u}=\sin(u) \sinh(v)[/mm]
> [mm]\bruch{\partial(Imf)}{\partial v}=-\cos(u) \cosh(v)[/mm]
>
> ---> [mm]\bruch{\partial(Ref)}{\partial u}=\bruch{\partial(Imf)}{\partial v}[/mm]
>
> und [mm]\bruch{\partial(Ref)}{\partial v}=-\bruch{\partial(Imf)}{\partial u}[/mm]
>
> bzw.:
>
> [mm]\cos(u) \cosh(v)=-\cos(u) \cosh(v)[/mm]
>
> und
>
> [mm]\sin(u) \sinh(v)=-\sin(u) \sinh(v)[/mm]
>
> Ich sehe zumindest in den Ableitungen keinen Fehler, aber
> vielleicht habe ich ja auch irgendwas bei Cauchy-Riemann
> falsch verstanden.
Die Ableitungen stimmen.
Wie festzustellen ist, gilt nicht für alle Punkte (u,v)
[mm]\bruch{\partial(Re \ f)}{\partial u} =\bruch{\partial(Im \ f)}{\partial v}[/mm]
[mm]\bruch{\partial(Re \ f)}{\partial v} =-\bruch{\partial(Im \ f)}{\partial u}[/mm]
Für die komplexe Differenzierbarkeit in einem Punkt,
muß gerade die Gleichheit dieser Gleichungen gelten:
[mm]\bruch{\partial(Re \ f)}{\partial u} =\bruch{\partial(Im \ f)}{\partial v}[/mm]
[mm]\bruch{\partial(Re \ f)}{\partial v} =-\bruch{\partial(Im \ f)}{\partial u}[/mm]
> Falls es so sein sollte, würde ich mich über einen Link zu
> einer ausführlich erklärenden Seite mit ein paar Beispielen
> freuen, dann brauche ich euch nicht länger damit auf den
> Geist zu gehen :).
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Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Komplexe Differenzierbarkeit
>
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Gruß
MathePower
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