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Forum "Folgen und Reihen" - Komplexe Folgen - Beweis
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Komplexe Folgen - Beweis: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 So 06.02.2011
Autor: SolRakt

Hallo.

Und zwar möchte ich beweisen:

[mm] (z_{n}) \in \IC^{IN} [/mm] konv. [mm] \gdw a_{n} [/mm] konv. und [mm] b_{n} [/mm] konv. (salopp)

Die Rückrichtung müsste so gehn:

| [mm] z_{n} [/mm] - z |

= [mm] |a_{n} [/mm] + i [mm] b_{n} [/mm] - (a+ib)|

= [mm] |a_{n} [/mm] -a + i [mm] b_{n}+ib| [/mm]

= [mm] |a_{n} [/mm] -a + i [mm] (b_{n}+b)| [/mm]

[mm] \le |a_{n} [/mm] -a| +  $| i [mm] (b_{n}+b)|$ [/mm]

= [mm] |a_{n} [/mm] -a| + [mm] |b_{n}+b| [/mm]

< [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]

Oder (also nur grob, natürlich noch ordentlich mit Definitionen und so)

Aber wie geht die Hinrichtung???

Danke schonmal.




        
Bezug
Komplexe Folgen - Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 So 06.02.2011
Autor: pyw

Hi,
auf gehts zur Hinrichtung ;-)
[mm] z_n=a_n+b_n\cdot [/mm] i, [mm] z=a+b\cdot [/mm] i

[mm] |z_n-z|<\varepsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow |a_n+b_n\cdot i-(a+b\cdot i)|<\varepsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow |a_n-a [/mm] + [mm] i(b_n-b)|<\varepsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow \sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon [/mm]

Also [mm] a_n-a\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon [/mm] und für [mm] b_n [/mm] analog [...]

Die Feinheiten gehören dir.

Gruß, pyw

Bezug
                
Bezug
Komplexe Folgen - Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 So 06.02.2011
Autor: SolRakt

Danke dir. ;)

Ähm..die allerletzte Abschätzung, also mit [mm] a_{n} [/mm] -a [mm] \le [/mm] ...

Hast du das einfach angenommen oder ist das eine Umformung?

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Folgen - Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 So 06.02.2011
Autor: pyw


> Danke dir. ;)
>  
> Ähm..die allerletzte Abschätzung, also mit [mm]a_{n}[/mm] -a [mm]\le[/mm]...
> Hast du das einfach angenommen oder ist das eine Umformung?

Nein, das ist keine Annahme.
[mm] a_n-a=\sqrt{(a_n-a)^2}\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon [/mm]
Jetzt klar? :D

Gruß


Bezug
                                
Bezug
Komplexe Folgen - Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 So 06.02.2011
Autor: SolRakt

Ja, jetzt ist es klar. ;) Vielen Dank nochmal. :)

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Folgen - Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:45 Mo 07.02.2011
Autor: fred97


> > Danke dir. ;)
>  >  
> > Ähm..die allerletzte Abschätzung, also mit [mm]a_{n}[/mm] -a
> [mm]\le[/mm]...
>  > Hast du das einfach angenommen oder ist das eine

> Umformung?
>
> Nein, das ist keine Annahme.
>  
> [mm]a_n-a=\sqrt{(a_n-a)^2}\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon[/mm]
>  Jetzt klar?

Nein, mir nicht. Es sei denn , Du meinst:

              
[mm] $|a_n-a|=\sqrt{(a_n-a)^2}$, [/mm]

dann ist es mir auch klar !

Gruß FRED



:D

>  
> Gruß
>  


Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Folgen - Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:52 Mo 07.02.2011
Autor: pyw


> > > Danke dir. ;)
>  >  >  
> > > Ähm..die allerletzte Abschätzung, also mit [mm]a_{n}[/mm] -a
> > [mm]\le[/mm]...
>  >  > Hast du das einfach angenommen oder ist das eine

> > Umformung?
> >
> > Nein, das ist keine Annahme.
>  >  
> >
> [mm]a_n-a=\sqrt{(a_n-a)^2}\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon[/mm]
>  >  Jetzt klar?
>  
> Nein, mir nicht. Es sei denn , Du meinst:
>  
>
> [mm]|a_n-a|=\sqrt{(a_n-a)^2}[/mm],

Ja, so sieht das noch besser aus :-)
Danke für die Bemerkung!

>  
> dann ist es mir auch klar !
>  
> Gruß FRED
>  
>
>
> :D
>  >  
> > Gruß
>  >  
>  


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