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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mi 12.09.2007 | | Autor: | holwo |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren von [mm] A=\pmat{ 3-4i & 2-4i \\ -3+6i & -2+6i } [/mm] |
Hallo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe schon das charakteristische Polynom berechnet: es ist [mm] \lambda^2-(1+2i)\lambda+2i
[/mm]
Er ist laut musterlösung auch richtig:)
Das problem liegt bei den Nullstellen des Polynoms.
ich komme auf: [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1+2i\pm\sqrt{-4i-3}}{2} [/mm] (die pq-Formel) aber bei der Wurzelberechnung hab ich meine probleme :
hab so versucht:
sei z=-4i-3
|z|=5
Arg(z)=-arccos(-3/5) (da bräuchte ich ein Taschenrechner  )
wollte es so darstellen: [mm] z=|z|e^{iArg(z)}
[/mm]
aber komme nicht weiter...
laut mathematica ist [mm] \sqrt{z}=1-2i
[/mm]
wie kommt man darauf?
ich hätte beim charakteristischen polynom "sehen" können , dass [mm] \lambda=1 [/mm] eine nullstelle ist.. aber müsste nicht auch so gehen?
Danke!
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Es gibt eine ganze Gaußsche Zahl, also eine komplexe Zahl [mm]a + \operatorname{i} b[/mm] mit [mm]a,b \in \mathbb{Z}[/mm], deren Quadrat gerade [mm]-3-4 \operatorname{i}[/mm] ist. Mit einfachen Beispielen ein bißchen herumspielen, und schon hat man es.
Dieses Vorgehen erscheint mir hier besser, als mit irgendwelchen komplizierten Formeln nach langer Rechnung eine Lösung hervorzuquälen.
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Hallöchen.
Du hast ja schon den Winkel und den Betrag der kompl. Zahl bestimmt.
Dann mußt du das doch nur noch in die Moivresche Formel (ist sie nicht genau, folgt aber aus ihr) einsetzen.
Sei [mm] z=|z|(\cos\phi+i \sin\phi)
[/mm]
[mm] \rightarrow x=\wurzel[n]{z}=\wurzel[n]{|z|}(\cos \bruch{\phi k 2\pi}{n}+i \sin \bruch{\phi k 2\pi}{n})
[/mm]
Das betrachtest du nun für k=0,1,2 und dann hast du deine Lösungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mi 12.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo,
ich habe noch eine frage zu den Eigenvektoren.
Die eigenwerte sind also [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2i
[/mm]
zu [mm] \lambda=1 [/mm] bestimme ich den eigenvektor [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] und der ist auch richtig laut musterlösung
zu [mm] \lambda=2i [/mm] habe ich aber eine frage:
ich hab meine matrix [mm] \pmat{ 3-6i & 2-4i \\ -3+6i & -2+4i } \rightarrow \pmat{ 3-6i & 2-4i \\ 0 & 0 } [/mm] also sei [mm] x_{2} [/mm] die zweite variable und [mm] x_{1} [/mm] die erste. also ist [mm] x_{2} [/mm] frei und ich hab die gleichung: [mm] (3-6i)x_{1}+(2-4i)x_{2}=0.
[/mm]
wenn ich [mm] x_{2}=1 [/mm] wähle, bekomme ich [mm] (3-6i)x_{1}+2-4i=0 \rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{4i-2}{3-6i} [/mm] = [mm] \bruch{(4i-2)(3+6i)}{9+36} [/mm] (ich hab mit 3+6i erweitert .. also [mm] x_{1}=\bruch{-30}{45}
[/mm]
also wäre [mm] \vektor{\bruch{-30}{45} \\ 1} [/mm] mein eigenvektor.. ist das richtig?
laut musterlösung ist [mm] \vektor{-2 \\ 3} [/mm] der eigenvektor .. wenn mein eigenvektor richtig ist, müsste er ein vielfaches vom anderen sein .. aber da wir in [mm] \IC [/mm] sind, .. wie sehe ich ob beide eigenvektoren sind?
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Hi,
na, [mm] -\frac{30}{45} [/mm] ist doch [mm] -\frac{2}{3}
[/mm]
Du hast also den EV [mm] \vektor{-\frac{2}{3}\\1}=\frac{1}{3}\cdot\vektor{-2\\3}
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Mi 12.09.2007 | | Autor: | holwo |
was man so übersieht
danke!
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