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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexe Gleichung
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Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Sa 04.07.2009
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung:
[mm] z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0 [/mm]

[mm] z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0 [/mm]

Also die erste Nullstelle findet man über das Horner-Schema durch ausprobieren raus.

[mm] z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0 [/mm]
[mm] \gdw (z-j)*\left(z^2-5*z+(7+j)\right)=0 [/mm]

für [mm] z^2-5*z+(7+j)=0 [/mm] gibts ja die p/q-Formel:

[mm] z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{-\bruch{25}{4}-\bruch{28}{4}-j} [/mm]

[mm] z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}} [/mm]

Lässt man sowas jetzt so stehen also schreibt:

[mm] z_1=(z-j) [/mm]

[mm] z_2=\bruch{5}{2}+\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}} [/mm]

[mm] z_3=\bruch{5}{2}-\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}} [/mm]

oder kann man das Ergebnis der beiden Nullstellen die sich aus der p/q-Formel ergeben haben noch weiter vereinfachen?

Danke und Gruß,
tedd :-)
        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Sa 04.07.2009
Autor: fencheltee


> Bestimmen Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung:
>  [mm]z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0[/mm]
>  [mm]z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0[/mm]
>  
> Also die erste Nullstelle findet man über das
> Horner-Schema durch ausprobieren raus.
>  
> [mm]z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0[/mm]
>  [mm]\gdw (z-j)*\left(z^2-5*z+(7+j)\right)=0[/mm]
>  
> für [mm]z^2-5*z+(7+j)=0[/mm] gibts ja die p/q-Formel:
>  
> [mm]z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{-\bruch{25}{4}-\bruch{28}{4}-j}[/mm]
>  
> [mm]z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}[/mm]
>  
> Lässt man sowas jetzt so stehen also schreibt:
>  
> [mm]z_1=(z-j)[/mm]
>  
> [mm]z_2=\bruch{5}{2}+\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}[/mm]
>  
> [mm]z_3=\bruch{5}{2}-\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}[/mm]
>  
> oder kann man das Ergebnis der beiden Nullstellen die sich
> aus der p/q-Formel ergeben haben noch weiter vereinfachen?

wenn ich mich nicht verrechnet habe ist [mm] \sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}= \pm (\frac{1}{2}+j) [/mm] (nach der letzten Formel in 10.3 ;-) )
>  
> Danke und Gruß,
>  tedd :-)

Bezug
                
Bezug
Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Sa 04.07.2009
Autor: tedd

Hey fencheltee,
danke für die Antwort :-)

Also mit der Formel:

[mm] z^2=a+j*b [/mm]

[mm] \gdw z=\pm\sqrt{\bruch{1}{2}}*\left(\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}+a}+j*sign(b)*\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-b}\right) [/mm]
ja stimmt.

ich komm auch darauf, hab mich nur vorhin verschrieben und es sollte:

[mm] z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{\bruch{-3-4*j}{4}} [/mm] heissen, daher ist bei dem Ergebnis ein VZ anders.

$ [mm] \sqrt{\bruch{-3-4*j}{4}}=\pm\bruch{1}{2}\mp [/mm] j $

aber wie krieg ich das dann hier reingebastelt:

[mm] z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{\bruch{-3-4*j}{4}} [/mm]

[mm] z=\bruch{5}{2}\pm(\pm\bruch{1}{2}\mp [/mm] j)=3-j !?

Denn das kann ja irgendwie nich stimmen :(

Komplexe Rechnung bah!

Gruß,
tedd [ok]
Bezug
                        
Bezug
Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Sa 04.07.2009
Autor: fencheltee


> Hey fencheltee,
>  danke für die Antwort :-)
>  
> Also mit der Formel:
>  
> [mm]z^2=a+j*b[/mm]
>  
> [mm]\gdw z=\pm\sqrt{\bruch{1}{2}}*\left(\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}+a}+j*sign(b)*\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-b}\right)[/mm]
>  
> ja stimmt.
>  
> ich komm auch darauf, hab mich nur vorhin verschrieben und
> es sollte:
>  
> [mm]z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{\bruch{-3-4*j}{4}}[/mm] heissen, daher
> ist bei dem Ergebnis ein VZ anders.
>  
> [mm]\sqrt{\bruch{-3-4*j}{4}}=\pm\bruch{1}{2}\mp j[/mm]
>  
> aber wie krieg ich das dann hier reingebastelt:
>  
> [mm]z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{\bruch{-3-4*j}{4}}[/mm]
>  
> [mm]z=\bruch{5}{2}\pm(\pm\bruch{1}{2}\mp[/mm] j)=3-j !?
>  
> Denn das kann ja irgendwie nich stimmen :(
>  
> Komplexe Rechnung bah!
>  
> Gruß,
>  tedd [ok]

der taschenrechner sowie wxmaxima sagen 3-i ist richtig, sowie 2+i.
betrachte das [mm] \pm [/mm] von der pq formel als das gleiche [mm] \pm [/mm] der Formel,
also [mm] \frac{5}{2}\pm(\frac{1}{2}-j) [/mm]
viel glück bei der prüfung :-)
Bezug
                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:36 So 05.07.2009
Autor: tedd

Ahhhhh... alles klar! :-)
Danke dir auch viel Glück [ok]

Gruß,
tedd
Bezug
                        
Bezug
Komplexe Gleichung: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Sa 04.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo,

zieh doch endlich mal den Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aus
dem Ganzen raus. Dann hast du nur noch:

        [mm] $\bruch{1}{2}*\left(\,5\pm\sqrt{-4-3\,i\,}\,\right) [/mm]

Die verbleibende Wurzel könntest du auch trigono-
metrisch (de Moivre) oder mit dem Ansatz  [mm] w=u+i\,v [/mm]
und  [mm] w^2=-4-3\,i [/mm]  berechnen. Da die Lösungen
ganzzahlig sind, könnte man sie (im Sinne der
Formel von de Moivre) mittels einer Skizze und
mit dem Satz von Pythagoras auch leicht erraten
und dann durch Rechnung nachprüfen.

LG    
Bezug
                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:36 So 05.07.2009
Autor: tedd

Okay!
Habs jetzt raus :-)
Danke und Gruß,
tedd
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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