Komplexe Nullstellen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 So 15.11.2009 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Bestimmen Sie sämtliche komplexe Nullstellen von:
$$p(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + x + 1$$
(Hinweis: $p(i) = 0$) |
Hallo,
es geht also um die Bestimmung der komplexen Nullstellen von $p(x)$.
Da $i [mm] \in \IC$ [/mm] Nullstelle ist, ist auch [mm] $\overline{i} [/mm] = -i [mm] \in \IC$ [/mm] eine Nullstelle.
Also 2 Nullstellen habe ich also schon 
Nun habe ich eine Polynomdivision durchgeführt:
$$ [mm] (x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + x + 1):(x-i) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2(1+i) [/mm] + x(1+i) +i$$
Allerdings scheitere an der Bestimmung der weiteren Nullstellen. Wie gehe ich bei komplexen Polynomen mit Grad $>=3$ vor? Ich habe versucht eine weitere Nullstelle zu raten, jedoch erfolglos.
Viele Grüße
Jakob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 So 15.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jakob!
Wenn [mm] $z_1 [/mm] \ = \ i$ eine Nullstelle der genannten Funktion ist, dann gilt dies auch für das komplex Konjugierte [mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] \overline{z}_1 [/mm] \ = \ -i$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 15.11.2009 | | Autor: | jboss |
Hallo Loddar,
das habe ich ja auch festgestellt siehe meine erste Frage. Allerdings komme ich nach der Polynomdivision nicht weiter.
Grüße
Jakob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 So 15.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jakob!
Mit einer weiteren bekannten Nullstelle kannst Du auch ein erneute Polynomdivision durchführen; hier also durch $(z+i)_$ .
Gruß
Loddar
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Hallo Jakob,
warum teilst du nicht direkt durch [mm] $(x^{2}+1)$? [/mm] Du hast die zweite Lösung gesehen, aber wohl nichts damit anzufangen gewusst :).
Schönen Abend noch.
deadlift
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 So 15.11.2009 | | Autor: | jboss |
Hallo,
ja klar! Daran hab ich nicht gedacht! Da $i$ und $-i$ Nullstellen sind, kann ich also das Polynom durch $(x-i)(x+i) = [mm] (x^2+i)$ [/mm] teilen. Die Polynomdivision ergibt dann: [mm] $(x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + x + [mm] 1):(x^2 [/mm] + i) = [mm] x^2 [/mm] + x + 1$.
Hier erhalte ich nun mit der p/q-Formel [mm] $z_3 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}i$ [/mm] und [mm] $z_4 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}i
[/mm]
Das sollte stimmen, stimmts? 
Viele Grüße
Jakob
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> Hallo,
> ja klar! Daran hab ich nicht gedacht! Da [mm]i[/mm] und [mm]-i[/mm]
> Nullstellen sind, kann ich also das Polynom durch
> [mm](x-i)(x+i) = (x^2+i)[/mm] teilen. Die Polynomdivision ergibt
> dann: [mm](x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1):(x^2 + i) = x^2 + x + 1[/mm].
>
> Hier erhalte ich nun mit der p/q-Formel [mm]$z_3[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}i$[/mm] und [mm]$z_4[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}i[/mm]
>
> Das sollte stimmen, stimmts?
>
> Viele Grüße
> Jakob
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 So 15.11.2009 | | Autor: | jboss |
Besten Dank!
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