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Hallo! Weis jemand von euch, gibt es irgendein Schema um bei einem polynom ohne Polynomdivision zu einer Faktorzerlegung zu kommen. Beispiel wäre diese Aufgabe: P(z) = [mm] z^6 [/mm] - 7z^3i + 8 entspricht P(z) = [mm] (z^3 [/mm] - [mm] 8i)*(z^3 [/mm] + i).Wie erhalte ich diese Zerlegung? Ein Lösungsansatz würde mir das Lösen komplexer Gleichungen wahnsinnig vereinfachen. Danke! Das weitere Vorgehen zur Nullstellenbestimmung ist mir dann klar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Do 13.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo! Weis jemand von euch, gibt es irgendein Schema um
> bei einem polynom ohne Polynomdivision zu einer
> Faktorzerlegung zu kommen. Beispiel wäre diese Aufgabe:
> P(z) = [mm]z^6[/mm] - 7z^3i + 8 entspricht P(z) = [mm](z^3[/mm] - [mm]8i)*(z^3[/mm] +
Na, setze doch mal:
[mm] $P(z_N)=0$ [/mm] (d.h. [mm] $z_N$ [/mm] soll Nullstelle von $P$ sein). Dann erhältst du die Nullstellen von $P$. Wie kann man dieses Polynom dann mithilfe der Nullstellen als Produkt darstellen?
Falls du Probleme beim Lösen der Gleichung:
[mm] $(\star)$ $(z_N)^6-7(z_N)^3i+8=0$ [/mm] haben solltest, dann substituiere:
[mm] $x:=(z_N)^3$ [/mm] und beachte [mm] $(z_N)^6=((z_N)^3)^2=x^2$.
[/mm]
Jetzt schreibe [mm] $(\star)$ [/mm] um in eine (quadratische) Gleichung in der Variablen $x$. Diese Gleichung solltest du dann in der Variablen $x$ lösen können und erhältst zwei Lösungen [mm] $x_1$, $x_2$ [/mm] (bitte versuche mal, [mm] $x_1,x_2$ [/mm] auszurechnen und poste dein Ergebnis. Eigentlich solltest du es auch alleine kontrollieren können, wenn du deine eigene Frage nochmal liest.  )
Dann gilt:
[mm] $0=(x-x_1)*(x-x_2)$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(z_N)^3=x}{\gdw}$
[/mm]
[mm] $\blue{0=((z_N)^3-x_1)*((z_N)^3-x_2)}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(z_N)^6-7(z_N)^3i+8=0$
[/mm]
Die blaue Gleichung ist für dich interessant!
Hier kann ich jetzt aufhören, weil ihr $P$ ja nur als Produkt zweier Faktoren geschrieben habt. Sonst würde ich noch ein bisschen weitermachen; aber das reicht jetzt ja an dieser Stelle, um zu eurer Faktorzerlegung zu gelangen. 
Viele Grüße,
Marcel
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