Komplexe Rechnung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 25.11.2004 | | Autor: | shifty |
Hallo,
ich komme gerade in Analysis nicht drauf, was mit mit folgender Aufgabenstellung gemeint ist, bzw. nur halb:
a.) "Berechnen Sie im Bereich der komplexen Zahlen die inverse Zahl 1/z von z=a+bi."
b.)"Lösen Sie die Gleichung ix=1"
Mein Vorschlag:
Bei a.) ist gemeint z=a+bi > z invers = (a+bi)hoch-1 , ist das richtig?
Bei b.) Kann man einsetzen i=Wurzel-1 somit:
1/Wurzel-1 =x
Geht das brauche mal nen netten Tipp!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Do 25.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo shifty!
Du sollst das Inverse natürlich wieder in der Form $c+di$ angeben...
Also:
Aus
$z [mm] \cdot \bar{z} [/mm] = [mm] |z|^2$
[/mm]
folgt für $z [mm] \ne [/mm] 0$:
$z [mm] \cdot \frac{\bar{z}}{|z|^2} [/mm] = 1$.
Daraus folgt:
[mm] $\frac{1}{z} [/mm] = [mm] \frac{\bar{z}}{|z|^2}$,
[/mm]
also:
[mm] $\frac{1}{a+bi} [/mm] = [mm] \frac{a-ib}{a^2 + b^2} [/mm] = [mm] \frac{a}{a^2 + b^2} [/mm] - [mm] i\, \frac{b}{a^2 + b^2}$.
[/mm]
Insbesondere ist
[mm] $\frac{1}{i} [/mm] = [mm] \frac{\bar{i}}{|i|^2} [/mm] = [mm] \frac{-i}{1} [/mm] = -i$.
D.h. $x=-i$ löst die Gleichung $ix=1$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 25.11.2004 | | Autor: | shifty |
Hallo,
besten Dank Stefan, nur leider komme ich jetzt durcheinander, was du wofür geschrieben hast und ich verstehe deine Folgerungen nicht sooo gut bitte etwas "normaler" danke.
Gruß
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Halli hallo!
Ich werds mal in normaler Sprache versuchen!
Also zu 1)
Du suchst, wie du schon richtig sagtest, [mm] z^{-1}
[/mm]
Dies soll aber am Ende wieder in der Form c+id dastehen, so wie z ja durch a+ib ausgedrückt wurde, also reicht es nicht einfach zu schreiben [mm] z^{-1}=\bruch{1}{a+ib}
[/mm]
Also vversuchen wir es mal in die Form c+id umzuformen, also:
Erweitern wir den bruch doch zuerst einmal mit (a-ib), es folgt:
[mm] z^{-1}=\bruch{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}=\bruch{a-ib}{a^{2}-iab+iab-i^{2}b^{2}}
[/mm]
mit [mm] i^{2}=-1 [/mm] gilt also
[mm] z^{-1}=\bruch{a-ib}{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
Dies kannst du nun auseinanderziehen und erhälst die gesuchte Form
[mm] z^{-1}=\bruch{a}{a^{2}+b^{2}}-\bruch{ib}{a^{2}+b^{2}}=\bruch{a}{a^{2}+b^{2}}-i\bruch{b}{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
mit [mm] c=\bruch{a}{a^{2}+b^{2}} [/mm] und [mm] d=\bruch{b}{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
Ich hoffe ich konnte es dir nun klar machen. Stefan hat im Prinzip nichts anderes gemacht.
Zu 2)
Ich würde da ein wenig anders herangehen als Stefan, was aber natürlich auf dasselbe hinausläuft:
Du hast gegeben ix=1
Multipliziere auf beiden Seiten mit i und du erhälst:
[mm] i^{2}*x=i
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -x=i
und daraus folgt nun natürlich sofort
x=-i
Liebe Grüße
Ulrike
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