Komplexe Zahl berechnen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Di 30.01.2018 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Das Polynom [mm] f=x^3+x^2+1 [/mm] hat drei komplexe Nullstellen [mm] x_1,x_2,x_3.
[/mm]
Berechnen Sie die komplexe Zahl
[mm] s=x^4_1+x^4_2+x^4_3 [/mm] |
Hallöle,
Meine Idee war schon zu sagen
[mm] x_1=a+b*i
[/mm]
[mm] x_2=x_1*=a-b*i
[/mm]
[mm] x_3=c [/mm]
und das dann auszumultiplizieren, aber wirklich bringt das nichts ...
Hat einer von euch dazu bitte einen Ansatz?
Liebe Grüße und Schönen Abend noch
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> Das Polynom [mm]f=x^3+x^2+1[/mm] hat drei komplexe Nullstellen
> [mm]x_1,x_2,x_3.[/mm]
> Berechnen Sie die komplexe Zahl
>
> [mm]s=x^4_1+x^4_2+x^4_3[/mm]
> Hallöle,
>
> Meine Idee war schon zu sagen
> [mm]x_1=a+b*i[/mm]
> [mm]x_2=x_1*=a-b*i[/mm]
> [mm]x_3=c[/mm]
> und das dann auszumultiplizieren, aber wirklich bringt das
> nichts ...
Da hast du Recht.
Da ich Indices nicht mag, nenne ich die 3 Nullstellen a, b und c. Damit zerfällt f in die Linearfaktoren
[mm] f=x^3+x^2+1 [/mm] = [mm] (x-a)(x-b)(x-c)=x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] (-a-b-c) + x(ab + ac + bc) +(-abc)
Koeffizientenvergleich liefert :
-a-b-c=1 also a+b+c=-1
ab + ac + bc =0
-abc = 1, also abc = - 1
Wie kommt man nun an [mm] a^4+b^4+c^4? [/mm] Die kommen im Binom [mm] (a+b+c)^4 [/mm] vor, leider auch mit weiteren Summanden.
Multipliziere [mm] (a+b+c)^2 [/mm] aus und benutze die obigen Erkenntnisse für a, b und c. Das Ergebnis vereinfacht sich.
Multipliziere nun das Ergebnis nochmals mit (a+b+c) und vereinfache es nochmals. Das ist dann [mm] (a+b+c)^3
[/mm]
Multipliziere nun das Ergebnis nochmals mit (a+b+c) und vereinfache es nochmals. Das ist dann [mm] (a+b+c)^4. [/mm]
Andererseits weiß du aber, dass a+b+c=-1 sein muss...
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Ich habe noch eine V'ereinfachung der Rechnung gefunden. Da a, b und c Nullstellen des Polynoms sind, gilt für alle drei, wenn man sie in das Polynom einsetzt:
[mm] a^3+a^2+1=0
[/mm]
[mm] b^3+b^2+1=0
[/mm]
[mm] c^3+c^2+1=0
[/mm]
Multiplikation mit a bzw. b bzw. c liefert
[mm] a^4+a^3+a=0
[/mm]
[mm] b^4+b^3+b=0
[/mm]
[mm] c^4+c^3+c=0
[/mm]
Addition: [mm] a^4+b^4+c^4+a^3+b^3+c^3+a+b+c=0
[/mm]
Addition der ersten 3 Ausgangsgleichungen liefert
[mm] a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^3+3=0
[/mm]
Subtraktion der beiden letzten Gleichungen voneinander:
[mm] a^4+b^4+c^4-a^2-b^2-c^2+a+b+c-3=0
[/mm]
Nun folgt aus meiner ersten Antwort:
>
> Koeffizientenvergleich liefert :
> -a-b-c=1 also a+b+c=-1
> ab + ac + bc =0
> -abc = 1, also abc = - 1
a+b+c=-1, somit [mm] a^4+b^4+c^4-a^2-b^2-c^2+a+b+c-3=a^4+b^4+c^4-(a^2+b^2+c^2)-1-3=0
[/mm]
[mm] a^4+b^4+c^4-(a^2+b^2+c^2)=4
[/mm]
Nach einer weiteren Bemerkung in meiner Antwort ist
[mm] 1=(-1)^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2+2(0)=a^2+b^2+c^2
[/mm]
Damit erhält man endlich [mm] a^4+b^4+c^4-(a^2+b^2+c^2)=a^4+b^4+c^4-(1)=4, [/mm] also
[mm] a^4+b^4+c^4=5
[/mm]
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