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| Aufgabe | [mm] z=\wurzel{2}i-2
[/mm]
Bestimme [mm] z^6 [/mm] und alle wEC mit [mm] w^2=z [/mm] in arithmetischer Form. |
Ich habe mal wieder eine Lösung vor mir liegen die für mich unlogisch ist. Sie lautet:
[mm] z=\wurzel{6}(cos144,7°+isin144,7°) [/mm] , [mm] z^6=-184+133,14i [/mm] , w1=-0,47-1,49i , w2=0,47+1,49i
Ich hab erstmal |z| bestimmt und kam auf [mm] \wurzel{6}
[/mm]
Das ist klar.
Dann wollte ich den Winkel bestimmen:
[mm] tan\phi=\bruch{Imaginärteil}{Realteil} [/mm] richtig?
Also [mm] tan\phi=\bruch{\wurzel{2}}{-2} [/mm] richtig?
Da würde ich auf -45° kommen. Da z im 2.Quadranten liegt hätt ich jetzt noch 90° dazuaddieren müssen oder?
Das stimmt doch aber nicht mit der angegebenen Lösung überein.
Durch probieren hab ich herausgefunden:
[mm] tan\phi=\bruch{-2}{\wurzel{2}}\sim-1,414
[/mm]
GTR: [mm] tan^{-1}-1,414=-54,73
[/mm]
Und das minus 90° ergibt -144,7°
Fragen: Warum wurde hier Realteil durch Imaginärteil gerechnet?
Wieso haben die einen positiven Winkel raus? (Denn wenn ich es so mache wie die komme ich auf was negatives. s.o.)
Bei der zweiten Teilaufgabe weiß ich nicht wie ich rangehen muss.
Weiß irgendjemand Rat?
Danke, Esperanza
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Hallo Loddar,
hab mich wohl verrechnet und das mit den Kreiswinkeln verdreht. Jetz isses logisch. aber auf die Lösung
[mm] z^6=-184+133,14i [/mm] und die w-Werte komm ich nicht.
Ich muss doch die Gradmaßangaben in Bogenmaßangaben umrechnen oder?
Also:
[mm] Bogenmass=\bruch{\pi}{180}*Gradmass
[/mm]
Also: [mm] \bruch{\pi}{180}*144,7°
[/mm]
Is das richtig?
Komm da trotzdem nicht auf das Ergebnis, denn wenn ich das ausmultipliziere kommen da kleinere Werte raus. Was mach ich falsch?
Und was hat es mit den w aufsich?
Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Esperanza!
Du brauchst diese Winkel nicht ins Bogenmaß umrechnen (wenn Dein Taschnrechner entprechend eingestellt ist ...).
Für den Wert [mm] $z^6$ [/mm] verwende die ![[]](/images/popup.gif) Moivre-Formel:
[mm] $z^n [/mm] \ = \ [mm] r^n*\left[\cos(n*\varphi)+i*\sin(n*\varphi)\right]$
[/mm]
[mm] $z^6 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{6} \ \right)^6*\left[\cos(6*144.7)+i*\sin(6*\144.7)\right]$
[/mm]
[mm] $z^6 [/mm] \ = \ [mm] 6^3*\left[\cos(868.4)+i*\sin(868.4)\right]$
[/mm]
[mm] $z^6 [/mm] \ = \ [mm] 216*\left[(-0.852)+i*(0.524)\right]$
[/mm]
Bei der 2. Aufgabe dann ebenfalls mit Moivre:
[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ = \ 0...(n-1)$
Im Gradmaß gilt analog:
[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*360°}{n}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*360°}{n}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ = \ 0...(n-1)$
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da solltest Du nochmal rechnen. Ich erhalte [mm] $\varphi [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -35.3°$ .
