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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 29.11.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IC. [/mm] Zeigen Sie: Es gibt [mm] z_1, z_2 \in \IC [/mm] mit:
[mm] z^2+az+b=(z-z_1)(z-z_2) [/mm] |
Wie geht man denn an so eine Aufgabe dran?
Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz liefern?
Vielen Dank
Lg Smex
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> Seien a,b [mm]\in \IC.[/mm] Zeigen Sie: Es gibt [mm]z_1, z_2 \in \IC[/mm]
> mit:
> [mm]z^2+az+b=(z-z_1)(z-z_2)[/mm]
> Wie geht man denn an so eine Aufgabe dran?
> Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz liefern?
Hallo,
bestimme die Nullstellen v. [mm] z^2+az+b=0.
[/mm]
Dann kannst Du [mm] z^2+az+b [/mm] schreiben als (z-1.Nullstelle)(z-2.Nullstelle)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 29.11.2007 | | Autor: | Smex |
Aber wie komme ich denn an die Nullstellen?
Mein Ansatz war jetzt eine quadratische Ergänzung, sodass
[mm] z^2+az+b=(z+\bruch{a}{2})+b-\bruch{a^2}{4}=0
[/mm]
dann erhalte ich:
[mm] z_1_,_2=-\bruch{a}{2}\pm \bruch{1}{2}\wurzel{a^2-4b}
[/mm]
aber das kann ja wohl schlecht die Lösung sein, oder?
Ich krieg das nicht weiter aufgelöst.
Aber vielleicht hab ich ja auch nen falschen Ansatz gewählt?
Lg Smex
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> Aber wie komme ich denn an die Nullstellen?
> Mein Ansatz war jetzt eine quadratische Ergänzung, sodass
> [mm]z^2+az+b=(z+\bruch{a}{2})^2+b-\bruch{a^2}{4}=0[/mm]
> dann erhalte ich:
> [mm]z_1_,_2=-\bruch{a}{2}\pm \bruch{1}{2}\wurzel{a^2-4b}[/mm]
> aber
> das kann ja wohl schlecht die Lösung sein, oder?
Hallo,
wieso soll's nicht die Lösung sein?
Du mußt nun zwei Fälle unterscheiden:
1. es ist [mm] a^2-4b\ge [/mm] 0,
Dann hast Du [mm] z^2+az+b=(z [/mm] + [mm] \bruch{a}{2}+ \bruch{1}{2}\wurzel{a^2-4b})(z [/mm] + [mm] \bruch{a}{2}- \bruch{1}{2}\wurzel{a^2-4b}).
[/mm]
(Sicherheitshalber solltest Du nachrechen, ob es stimmt. 3. Binomische.)
2. Fall: [mm] a^2-4b [/mm] < 0 .
Hier solltest Du über die Imaginärzahl i nachdenken - möglicherweise kannst Du die gebrauchen.
Gruß v. Angela
> Ich krieg das nicht weiter aufgelöst.
> Aber vielleicht hab ich ja auch nen falschen Ansatz
> gewählt?
>
> Lg Smex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 29.11.2007 | | Autor: | Smex |
Also den ersten Fall hab ich verstanden, kein Problem, aber mit dem 2. Fall hab ich irgendwie Probleme. Ich kann doch dann sagen, dass [mm] z^2=a^2-4b, [/mm] woraus folgt, dass [mm] z_1=\wurzel{a^2-4b} [/mm] und [mm] z_2=-\wurzel{a^2-4b} [/mm] , da aber [mm] a^2-4b<0 [/mm] ist kann ich das so nicht auflösen, ich versteh nur nicht, wie ich dann da mit der Imaginärzahl i hantieren soll??
Lg Smex
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> Also den ersten Fall hab ich verstanden, kein Problem, aber
> mit dem 2. Fall hab ich irgendwie Probleme.
Du hast $ [mm] z^2+az+b=(z+\bruch{a}{2})^2+b-\bruch{a^2}{4}=0 [/mm] $
<==> [mm] (z+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2}{4}-b [/mm] mit [mm] \bruch{a^2}{4}-b<0
[/mm]
[mm] <==>(z+\bruch{a}{2})^2=(-1)*(b-\bruch{a^2}{4}) [/mm] mit [mm] b-\bruch{a^2}{4}>0 [/mm] (also kann man daraus die Wurzel ziehen)
[mm] <==>(z+\bruch{a}{2})^2=i^2*(b-\bruch{a^2}{4}) [/mm]
und nun weiter wie zuvor.
Gruß v. Angela
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