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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe quadratische Gleichun
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Komplexe quadratische Gleichun: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Sa 07.11.2009
Autor: Aoide

Aufgabe
Finden Sie die  komplexwertigen Lösungen von

[mm] z^2 [/mm] + (-3 + 2i)z +4-3i = 0

Wie fange ich denn bei dieser Aufgabe an?Ich habe den Beitrag zum Wurzelziehen bei komplexen Zahlen gelesen, aber ich habe hier ja neben dem [mm] z^2 [/mm] noch weitere z.
Ich hab versucht für z = x-yi einzusetzen, aber das bringt mich nicht weiter, weil ich die Variablen dann durch die ganze Rechnung verschleppe.
Gibts da eine spezielle Regel oder übersehe ich was?
Dankeschön!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Komplexe quadratische Gleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Sa 07.11.2009
Autor: fencheltee


> Finden Sie die  komplexwertigen Lösungen von
>  
> [mm]z^2[/mm] + (-3 + 2i)z +4-3i = 0

[mm] z^2+\underbrace{(3+2i)}_{p}*z+\underbrace{4-3*i}_{=q}=0 [/mm]

>  Wie fange ich denn bei dieser Aufgabe an?Ich habe den
> Beitrag zum Wurzelziehen bei komplexen Zahlen gelesen, aber
> ich habe hier ja neben dem [mm]z^2[/mm] noch weitere z.
> Ich hab versucht für z = x-yi einzusetzen, aber das bringt
> mich nicht weiter, weil ich die Variablen dann durch die
> ganze Rechnung verschleppe.
>  Gibts da eine spezielle Regel oder übersehe ich was?
>  Dankeschön!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

hallo,
hier fängst du wie gewohnt mit der pq formel an, den wurzelterm musst du dann unter umständen mit moivre bearbeiten, wenn ein real-imaginär-mischterm drunter steht

mfg tee

Bezug
                
Bezug
Komplexe quadratische Gleichun: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 So 08.11.2009
Autor: Aoide

Dankeschön.
Das war eigentlich auch mein erster Ansatz, hab ich aber dummerweise gleich verworfen :P

Hier mal der Lösungsweg:
z1/2 [mm] =-(\bruch{-3+2i}{2})\pm\wurzel{(\bruch{-3+2i}{2})^2-4+3i} [/mm]
= [mm] \bruch{3-2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{5-12i}{4}-4+3i} [/mm]
= [mm] \bruch{3-2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{5}{4}-3i-4+3i} [/mm]
[mm] =\bruch{3-2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{-11}{4}} [/mm]
[mm] =\bruch{3-2i}{2}\pm\bruch{\wurzel{-11}}{2} [/mm]

z1= [mm] \bruch{3+\wurzel{-11}}{2}-i [/mm]
[mm] z2=\bruch{3-\wurzel{-11}}{2}-i [/mm]

Stimmt das so?
Kann ich die Ergebnisse so stehen lassen? Ich hab das Gefühl, dass ich so eigentlich noch nicht fertig bin!?

Bezug
                        
Bezug
Komplexe quadratische Gleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:09 So 08.11.2009
Autor: fencheltee


> Dankeschön.
>  Das war eigentlich auch mein erster Ansatz, hab ich aber
> dummerweise gleich verworfen :P
>  
> Hier mal der Lösungsweg:
>  z1/2
> [mm]=-(\bruch{-3+2i}{2})\pm\wurzel{(\bruch{-3+2i}{2})^2-4+3i}[/mm]
>  = [mm]\bruch{3-2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{5-12i}{4}-4+3i}[/mm]
>  = [mm]\bruch{3-2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{5}{4}-3i-4+3i}[/mm]
>  [mm]=\bruch{3-2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{-11}{4}}[/mm]
>  [mm]=\bruch{3-2i}{2}\pm\bruch{\wurzel{-11}}{2}[/mm]
>  
> z1= [mm]\bruch{3+\wurzel{-11}}{2}-i[/mm]
>  [mm]z2=\bruch{3-\wurzel{-11}}{2}-i[/mm]
>  
> Stimmt das so?
>  Kann ich die Ergebnisse so stehen lassen? Ich hab das
> Gefühl, dass ich so eigentlich noch nicht fertig bin!?

sieht ganz gut aus bis auf [mm] \sqrt{-11} [/mm] findest du nicht?
erinnern wir uns daran, dass [mm] i^2=-1 [/mm] ist, somit [mm] \sqrt{i^2*11}=i*\sqrt{11} [/mm] und den term dann noch was zusammenfassen

mfg tee

Bezug
                                
Bezug
Komplexe quadratische Gleichun: Dankeschön!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:07 So 08.11.2009
Autor: Aoide

Ahh, so macht man das! Vielen Dank!
Manchmal hat man echt Tomaten auf den Augen!

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