Komplexen sinus zeichen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Fr 15.05.2009 | | Autor: | Dr.Sway |
| Aufgabe | Fertigen Sie ein Höhenprofil von [mm] \left|sin(x)\right|^{2} [/mm] an.
Zeichnen Sie dazu die Kurven [mm] \left|sin(x)\right|^{2} [/mm] = c für c = 0.25, 0.5 , 1, 2. Skizzieren Sie weiterhin das Höhenprofil [mm] \left|tan(z)\right|^{2}. [/mm] |
Hallo,
Also ich hab mal keinen Plan wie man da vorgeht.
ich hab auch schon mal ein bisschen gegoogelt und komme nicht wirklich weiter.
weiß net so recht wie man das überhaupt ausrechnet und dann zeichen.
Könnte mir einer vll helfen.
schöne grüße,
sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Fr 15.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Fertigen Sie ein Höhenprofil von [mm]\left|sin(x)\right|^{2}[/mm]
> an.
> Zeichnen Sie dazu die Kurven [mm]\left|sin(x)\right|^{2}[/mm] = c
> für c = 0.25, 0.5 , 1, 2. Skizzieren Sie weiterhin das
> Höhenprofil [mm]\left|tan(z)\right|^{2}.[/mm]
> Hallo,
>
> Also ich hab mal keinen Plan wie man da vorgeht.
> ich hab auch schon mal ein bisschen gegoogelt und komme
> nicht wirklich weiter.
> weiß net so recht wie man das überhaupt ausrechnet und
> dann zeichen.
> Könnte mir einer vll helfen.
>
> schöne grüße,
> sabrina
Hallo,
komplexer Sinus: Zeichne Dir zunächst einmal die komplexe Zahlenebene, d.h. reelle und komplexe Achse. Nun berechne welche [mm] $z\in\IC$
[/mm]
[mm] $\left|sin(z)\right|^{2}=c$ [/mm] mit c = 0.25, 0.5 , 1, 2
erfüllen. Die komplexen Zahlen [mm] $z\in\IC$, [/mm] die die Bedingung [mm] $\left|sin(z)\right|^{2}=c$ [/mm] erfüllen bilden für festes feste $c$ eine Kurve in der komplexen Zahlenebene. Diese sollst Du zeichnen.
Hilft Dir das weiter.
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Fr 15.05.2009 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo Denny,
Nicht ganz.
Mein Problem ist u.a. die werte zu berechen.
z.b mit c = 1
also
ich kann ja auch sin so umschreiben
sin(z)*sin(z)kunjungiert
also:
sin(a+ib)*sin(a-ib) = 1 schreiben
auf der rellen achse also b = 0 wären das schon mal alle [mm] \bruch{pi}{2} [/mm] -Vielfachen
wenn ich a = 0 setze, dann wäre die werte auf der imaginären-Achse. aber wo? und wo sind die anderen.
Ich müsste vll dazusagen ich hab noch keine graphen für kpl fkt gezeichnet und weiß auch net so recht was bei sin(ib)*sin(-ib) für beliebiges b rauskommen sollte.
nur für kpl zahlen
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo Denny,
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> Nicht ganz.
> Mein Problem ist u.a. die werte zu berechen.
> z.b mit c = 1
> also
> ich kann ja auch sin so umschreiben
> sin(z)*sin(z)kunjungiert
> also:
> sin(a+ib)*sin(a-ib) = 1 schreiben
> auf der rellen achse also b = 0 wären das schon mal alle
> [mm]\bruch{pi}{2}[/mm] -Vielfachen
> wenn ich a = 0 setze, dann wäre die werte auf der
> imaginären-Achse. aber wo? und wo sind die anderen.
> Ich müsste vll dazusagen ich hab noch keine graphen für kpl
> fkt gezeichnet und weiß auch net so recht was bei
> sin(ib)*sin(-ib) für beliebiges b rauskommen sollte.
> nur für kpl zahlen
> gruß
Hallo. Diese $z$ zu berechnen ist gerade deine Aufgabe. Ich habe sie mal schnell gerechnet, aber überprüfe es sicherheitshalber nochmal. Vielleicht handelt es sich hierbei auch nicht um die optimale Lösung!
Sei [mm] $c\in[-1,1]$ [/mm] vorerst beliebig. Du solltest folgendes wissen:
1) [mm] $\sin z=\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)$
[/mm]
2) [mm] $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}$ [/mm] und [mm] $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
[/mm]
3) [mm] $\overline{\exp(z)}=\exp(\overline{z})$
[/mm]
4) [mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$
[/mm]
5) Mit $z=x+iy$ ist [mm] $z+\overline{z}=2x$, $z-\overline{z}=i2y$
[/mm]
6) [mm] $\sin(-x)=-\sin(x)$ [/mm] und [mm] $\cos(-x)=\cos(x)$ [/mm] für [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Dann gilt für [mm] $z\in\IC$:
[/mm]
[mm] $c=|\sin(z)|^2=\sin(z)\cdot\overline{\sin(z)}=\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\cdot\overline{\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)}=-\frac{i}{2}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\cdot\overline{-\frac{i}{2}}\cdot\overline{\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\left(e^{-i\overline{z}}-e^{i\overline{z}}\right)=\frac{1}{4}\left(e^{i(z-\overline{z})}-e^{-i(z+\overline{z})}-e^{i(z+\overline{z})}+e^{-i(z-\overline{z})}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}\left(e^{-2y}-e^{-i2x}-e^{i2x}+e^{2y}\right)=\frac{1}{4}\left(e^{-2y}-\cos(-2x)-i\sin(-2x)-\cos(2x)-i\sin(2x)+e^{2y}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}\left(e^{-2y}-2\cos(2x)+e^{2y}\right)$
[/mm]
Daraus folgt nun (mit ein paar Umformungen):
[mm] $x=\frac{1}{2}\arccos\left(\frac{1}{2}\left(4c-e^{-2y}-e^{2y}\right)\right)=\frac{1}{2}\arccos\left(2c+\cosh(2y)\right)$
[/mm]
Nun wähle [mm] $c\in\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},1\}$ [/mm] (der Reihe nach) fest. Setze nun verschiedene [mm] $y=\mathrm{Im}(z)$ [/mm] Werte ein und erhalte [mm] $x=\mathrm{Re}(z)$ [/mm] Werte. Zeichne diese Punkte (für jedes $c$ jeweils in einer Farbe) in die komplexe Zahlenebene. Dann solltest Du hoffentlich Deine Kurven erhalten.
Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Dr.Sway |
> Hallo. Diese [mm]z[/mm] zu berechnen ist gerade deine Aufgabe. Ich
> habe sie mal schnell gerechnet, aber überprüfe es
> sicherheitshalber nochmal. Vielleicht handelt es sich
> hierbei auch nicht um die optimale Lösung!
>
> Sei [mm]c\in[-1,1][/mm] vorerst beliebig. Du solltest folgendes
> wissen:
> 1) [mm]\sin z=\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)[/mm]
>
> 2) [mm]\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}[/mm] und
> [mm]\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}[/mm]
> 3) [mm]\overline{\exp(z)}=\exp(\overline{z})[/mm]
> 4) [mm]e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)[/mm]
> 5) Mit [mm]z=x+iy[/mm] ist [mm]z+\overline{z}=2x[/mm],
> [mm]z-\overline{z}=i2y[/mm]
> 6) [mm]\sin(-x)=-\sin(x)[/mm] und [mm]\cos(-x)=\cos(x)[/mm] für
> [mm]x\in\IR[/mm]
> Dann gilt für [mm]z\in\IC[/mm]:
>
> [mm]c=|\sin(z)|^2=\sin(z)\cdot\overline{\sin(z)}=\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\cdot\overline{\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)}=-\frac{i}{2}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\cdot\overline{-\frac{i}{2}}\cdot\overline{\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{4}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\left(e^{-i\overline{z}}-e^{i\overline{z}}\right)=\frac{1}{4}\left(e^{i(z-\overline{z})}-e^{-i(z+\overline{z})}-e^{i(z+\overline{z})}+e^{-i(z-\overline{z})}\right)[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{4}\left(e^{-2y}-e^{-i2x}-e^{i2x}+e^{2y}\right)=\frac{1}{4}\left(e^{-2y}-\cos(-2x)-i\sin(-2x)-\cos(2x)-i\sin(2x)+e^{2y}\right)[/mm]
> [mm]=\frac{1}{4}\left(e^{-2y}-2\cos(2x)+e^{2y}\right)[/mm]
> Daraus folgt nun (mit ein paar Umformungen):
>
> [mm]x=\frac{1}{2}\arccos\left(\frac{1}{2}\left(4c-e^{-2y}-e^{2y}\right)\right)=\frac{1}{2}\arccos\left(2c+\cosh(2y)\right)[/mm]
> Nun wähle [mm]c\in\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},1\}[/mm] (der Reihe
> nach) fest. Setze nun verschiedene [mm]y=\mathrm{Im}(z)[/mm] Werte
> ein und erhalte [mm]x=\mathrm{Re}(z)[/mm] Werte. Zeichne diese
> Punkte (für jedes [mm]c[/mm] jeweils in einer Farbe) in die komplexe
> Zahlenebene. Dann solltest Du hoffentlich Deine Kurven
> erhalten.
>
> Gruß Denny
>
Hallo Denny,
Danke für deine kompetente Antwort.
Ich glaub aber du hast nen Vorzeichenfehler gemacht:
müsste es nicht [mm] -\frac{1}{2} [/mm] sein
[mm]x=\frac{1}{2}\arccos\left( [red]- [/red] \frac{1}{2}\left(4c-e^{-2y}-e^{2y}\right)\right)=
\frac{1}{2}\arccos\left(-2c+[red]\sinh(2y)[/red]\right)[/mm]
gruß,
sabrina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo Denny,
>
> Danke für deine kompetente Antwort.
> Ich glaub aber du hast nen Vorzeichenfehler gemacht:
> müsste es nicht [mm]-\frac{1}{2}[/mm] sein
> [mm]x=\frac{1}{2}\arccos\left( [red]-[/red] \frac{1}{2}\left(4c-e^{-2y}-e^{2y}\right)\right)=
\frac{1}{2}\arccos\left(-2c+[red]\sinh(2y)[/red]\right)[/mm]
>
> gruß,
> sabrina
>
Ja, in der Tat hast Du Recht.
Gruß Denny
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