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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 So 26.09.2004 | | Autor: | Blume123 |
Hallo, ich habe zwei Aufgaben die ich nicht so ganz hinbekomme... kann mir jemand helfen?
1.
a) Es sollen zylindrische Dosen mit dem Volumen V hergestellt werden. Wie sind die Radius r und die Höhe h zu wählen, damitz die gesamte Nahtlinie aus Mantellinie, Deckel- und Bodenrand minimal wird?
b) Wie müssen Radius r und Höhe h gewählt werden, wenn die zylindrische Dose ohne Deckel hergestellt wird und die Oberfläche möglichst klein werden soll?
2. Die Tragfähigkeit von Holzbalken ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Balkenhöhe h.
a) aus einem zylindrischen Baumstamm mit dem Radius r soll ein Balken maximaler Tragfähigkeit herausgeschnitten werden. Wie sind Breite und Höhe zu wählen?
Wäre echt lieb, wenn mir da jemand helfen könnte...
LG Blume
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo!!
Ich möchte dir mal eine Tipp zu Nummer 2 geben,denn ich finde diese aufgabe sehr schön  !!
Tragfähigkeit=t
Breite=b
Höhe=h
so du weißt,dass t proportional zu b und h² ist!!Problem ist,dass du nicht weißt ob indirekt,oder direkt proportional-->Unterschied
direkt wäre: t=b*h²
indirekt wäre: [mm] t=\bruch{b}{h²}
[/mm]
physikalisch gesehen muss die tragfähigkeit mit der Breite zunehmen,jedoch mit der Höhe abnehmen,denn ein langer und dünner Balken hält nicht so viel aus!!
=> [mm] t=\bruch{b}{h²} [/mm] alles klar??
t soll maximal werden! Beim Zylinder entspricht r=b und h=h!!!
=> [mm] t_(r,h)=\bruch{r}{h²}
[/mm]
gruß daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 So 26.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Daniel.
> physikalisch gesehen muss die tragfähigkeit mit der Breite zunehmen,jedoch mit der Höhe abnehmen,denn ein langer und dünner Balken hält nicht so viel aus!!
Da widersprichst du dir selber. Wenn die Tragfähigkeit mit der Breite zunehmen, mit der Höhe abnehmen würde, dann wäre ein langer und dünner Balken sehr tragfähig.
Müsste es nicht heißen:
[mm] $t=\frac{h^2}{b}$?
[/mm]
Der Balken trägt ja mehr, wenn er schmal und hoch ist, das sagst du ja selber.
Oder sehe ich da etwas falsch?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 So 26.09.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Hallo hanno!!
Ich bin jetzt ein bisschen durcheinander !!
Also ich meine,dass ein langer und dünner Balken weniger Gewicht aushält,als ein dicker und niederer Balken,oder!!Wir reden doch von der Tragfähigkeit,also wenn z.B ein Balken zwischen zwei Wänden als Stütze dient,oder???!!!
dann wäre [mm] t=\bruch{b}{h²} [/mm] je dicker der Baöken,desto mehr Tragfähigkeit und je dünner,desto weniger hält dieser aus!!!oder??
mfg dani
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 So 26.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Daniel!
Oh, da haben wir zwei andere Assoziationen gehabt. Ich dachte, mit Tragfähigkeit sei gemeint, welches Gewicht man auf den Balken (ich habe es mir eher wie eine Leiste vorgestellt), bis es durch zu viel Durchbiegung durchbricht. Ich dachte, man legt ein Gewicht auf die Mitte, du legst gleich eine ganze Wand drauf - das ist natürlich ein Unterschied.
Fragt sich nun, was gemeint ist.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 So 26.09.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Dann ist ja alls klar!Sagen wir das meine wäre richtig(gemeint),wie eäre die Nebenbedingung zu wählen,denn das ist gar nicht so einfach,hab ich festgestellt.
mfg dani
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Blume123 |
Hallo, ich habe zwei Aufgaben die ich nicht so ganz hinbekomme... kann mir jemand helfen? Habe dieses Thema nochmals eröffnet, weil bei uns Mathe heute ausgefallen war ( in der schule) und ich ja sowieso noch keine richtige Lösung bekommen habe...
1.
a) Es sollen zylindrische Dosen mit dem Volumen V hergestellt werden. Wie sind die Radius r und die Höhe h zu wählen, damitz die gesamte Nahtlinie aus Mantellinie, Deckel- und Bodenrand minimal wird?
b) Wie müssen Radius r und Höhe h gewählt werden, wenn die zylindrische Dose ohne Deckel hergestellt wird und die Oberfläche möglichst klein werden soll?
2. Die Tragfähigkeit von Holzbalken ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Balkenhöhe h.
a) aus einem zylindrischen Baumstamm mit dem Radius r soll ein Balken maximaler Tragfähigkeit herausgeschnitten werden. Wie sind Breite und Höhe zu wählen?
Wäre echt lieb, wenn mir da jemand helfen könnte...
LG Blume
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hi blume123
kann dir nicht mehr antworten.
falls du die aufgabe noch gelöst haben möchtest, schick mir eine email an purser@gmx.at
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo illuminatic,
> kann dir nicht mehr antworten.
> falls du die aufgabe noch gelöst haben möchtest, schick
> mir eine email an xxxxx@xxx.xx
Wieso das? Warum sollte die Lösung nicht hier im Forum erfolgen?
Ausserdem hat Paul doch schon die 2. Aufgabe vorgerechnet...
Viele Grüße
Marc
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aber aufgabe 1 wurde noch nicht gelöst ?!?!
und wenn ich einen beitrag schreiben will steht doch extra fett rot in klammer dahinter, dass es keine antwort sein soll !?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo illuminatic,
habe gerade erst gesehen, dass du ja neu im MatheRaum bist, also
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> aber aufgabe 1 wurde noch nicht gelöst ?!?!
> und wenn ich einen beitrag schreiben will steht doch extra
> fett rot in klammer dahinter, dass es keine antwort sein
> soll !?
Ah, jetzt verstehe ich.
Antworten(artikel) kann man im MatheRaum nur auf Fragen(artikel) schreiben.
Wenn du dir also einen Frageartikel anzeigen läßt (das sind die mit dem quadratischen Statussymbol), dann erscheint im Menü unterhalb auch die Möglichkeit, ein Antwort-Artikel zu schreiben.
Ich verstehe jetzt auch, wie es überhaupt zu der Verwirrung kam: Blume123 hatte ihre Fragen doppelt gepostet, so dass ich die jüngere Frage einfach als Mitteilung deklariert hatte.
Du kannst sehr gerne überall eigene Antworten geben, dass du "keine weiter Frage/Antwort" schreiben sollst, war also nur ein technischer Hinweis, dass eben ein Mitteilungsartikel nicht für eine Frage oder Antwort "missbraucht" werden soll.
Viel Spaß im MatheRaum,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Daniel
ich sehe gerade, dass die Beantwortungszeit eigentlich abgelaufen ist, und ausser einer unsinnigen Diskussion nicht viel gescheites herausgekommen ist. Du hättest dich aber schon ein Bisschen wehren sollen, ich kann nicht überall sein!
Zum Trost führe ich mal, aber ohne allzu viel Erklärungen (aus Zeitgründen) die 2. Aufgabe mal vor.
Wir wissen also, das die Tragkraft, nennen wir sie mal $y$, der Formel
[mm] $y=c*h^{2}*b$ [/mm] gehorcht.
Jetzt soll also ein rechteckiger Balken mit den Seiten $h$ und $b$ aus einem Baumstamm, im Querschnitt ein Kreis mit Radius $r$, natürlich möglichst gross, herausgeschnitten werden.
Eine kleine Skizze liefert nach dem Pythagoras:
[mm] $h^{2}+b^{2}=4r^{2}$ [/mm] Das ist die Nebenbedingung.
Am einfachsten ist es wohl, diese nach [mm] $h^{2}$ [/mm] umzustellen:
[mm] $h^{2}=4r^{2}-b^{2}$
[/mm]
Das kann in der 1. Gleichung eingesetzt werden:
[mm] $y=c*(4r^{2}-b^{2})*b$
[/mm]
Jetzt ists nur noch eine Funktion mit einer Variablen ($c$ ist eine Konstante). Dese wird bekanntlich dort maximal, wo die 1. Ableitung verschwindet.
Also:
[mm] $y'=c*(4r^{2}-3b^{2})$
[/mm]
[mm] $c(4r^{2}-3b^{2})=0$
[/mm]
Dies führt zu:
[mm] $b=\bruch{2}{\wurzel{3}}*r$
[/mm]
Daraus sollte sich auch noch $h$ berechnen lassen, womit die Aufgabe schon gelöst ist.
Mit lieben Grüssen
Paul
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Aufgabe 1 (lambacher schweizer s.54/nr.11)
r:radius
h:hoehe
1)die nahtlinie muss minimiert werden, also erstellt man eine zielfunktion
N(r,h)=Linie entlang des Mantels + Deckel-&Bodenrand = h + 4 * [mm] \pi [/mm] * r
2)die nahtlinie ist natürlich abhängig vom volumen V des zylinders
V=Grundfläche * Hoehe= [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * h
aufgelöst nach Hoehe => h= [mm] \bruch{V}{\pi * r^2}
[/mm]
eingesetzt in N => [mm] N(r)=\bruch{V} {\pi * r^2 } [/mm] + 4 * [mm] \pi [/mm] * r
(jetzt ist die zielfunktion N nur noch abhängig von einem parameter r)
3)ableitung der zielfunktion um ein lokales maxi-/minimum zu finden
[mm] N'(r)=-2*\bruch{V}{\pi*r^3+4* \pi}
[/mm]
N'(r)=0 => r= [mm] \wurzel[3]{\bruch{V}{2 * \pi^2}}
[/mm]
da die zweite ableitung [mm] N''(r)=\bruch{6 * V}{\pi * r^4} [/mm] größer als 0 ist,
liegt ein lokales minimum vor
wenn du dir das fernverhalten der funktion N(r) anschaust bzw. die
funktion zeichnest, siehst du, dass die randstellen nicht betrachtet
werden müssen (hier ist selbstverständlich vorausgesetzt, dass r>0 und
h>0 sind)
4)um die hoehe h zu berechnen, jetzt halt einfach nur noch r in die
gleichung für h einsetzen
=> h= [mm] \bruch{V} {\pi * \wurzel[3]{\bruch{V}{2 * \pi^2}}}
[/mm]
teilaufgabe b) müsstest du jetzt eigentlich selbstständig lösen können
gruß illumatic
p.s.: hat etwas länger gedauert, musste mich erstmal an diese schreibweise gewöhnen und entschuldige somit auch jeden schreibfehler, wenn rechenfehler gefunden werden, mich bitte darauf hinweisen
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