Komplexes Integral Rechteck < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{C}{1/(z^{2}+2Z+2) dz}, [/mm] wobei C das positiv durchlaufene Rechteck mit den Ecken (0,0), (-2,0), (-2,-2), (0,-2) sei. |
Ich weiß nicht genau, wie man dieses INtegral Lösen soll.
Ich denke, dass man den Cauchy Integralsatz anweden muss? Bzw. die Kurve in unterschiedliche Kurven aufteilen Linienintegrale aufteilen muss?
Verwirrden finde ich, dass es sich hierbei um ein Rechteck handelt.
Für [mm] z=1\pmi [/mm] ist [mm] z^{2}+2z+2 [/mm] jedenfalls =0 und daher nicht definiert, also ist die Funktion in diesen Punkten nicht holomorph und ich kann eine holomorphe Funktion um diese Punkte definieren um den Chauchy Integralsatz anzuwenden wie bei einem Kreis (wofür es ja auch unzählige beispiele im Internet gibt)?
Wie wird das dann berücksichtigt, dass es sich hierbei um ein Rechteck handelt?
Ich möchte mich im Vorraus schon einmal für die Hilfe bedanken
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 So 19.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie [mm]\integral_{C}{1/(z^{2}+2Z+2) dz},[/mm] wobei C das
> positiv durchlaufene Rechteck mit den Ecken (0,0), (-2,0),
> (-2,-2), (0,-2) sei.
> Ich weiß nicht genau, wie man dieses INtegral Lösen
> soll.
> Ich denke, dass man den Cauchy Integralsatz anweden muss?
> Bzw. die Kurve in unterschiedliche Kurven aufteilen
> Linienintegrale aufteilen muss?
> Verwirrden finde ich, dass es sich hierbei um ein Rechteck
> handelt.
> Für [mm]z=1\pmi[/mm]
Im Quelltext sieht man, dass [mm]z=1\pm i[/mm] gemeint ist
> ist [mm]z^{2}+2z+2[/mm] jedenfalls =0
Das stimmt nicht. Die Nullstellen des Nenners sind [mm]z=_1=-1+ i[/mm]
und [mm]z_2=-1- i[/mm]
> und daher nicht
> definiert, also ist die Funktion in diesen Punkten nicht
> holomorph und ich kann eine holomorphe Funktion um diese
> Punkte definieren um den Chauchy Integralsatz anzuwenden
> wie bei einem Kreis (wofür es ja auch unzählige beispiele
> im Internet gibt)?
> Wie wird das dann berücksichtigt, dass es sich hierbei um
> ein Rechteck handelt?
>
> Ich möchte mich im Vorraus schon einmal für die Hilfe
> bedanken
Finde A und B mit [mm] \bruch{1}{z^2+2z+2}=\bruch{A}{z-z_1}+\bruch{B}{z-z_2}
[/mm]
Dann ist [mm] \integral_{C}{1/(z^{2}+2z+2) dz}= \integral_{C}{\bruch{A}{z-z_1} dz}+\integral_{C}{\bruch{B}{z-z_2} dz}
[/mm]
Jetzt denke an "Umlaufzahl".
FRED
>
> Mit freundlichen Grüßen
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Hi Fred & orkan
Ich habe das mal versucht auszurechnen und komme auf $ - [mm] \pi [/mm] $, stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 So 19.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred & orkan
>
> Ich habe das mal versucht auszurechnen und komme auf [mm]- \pi [/mm],
> stimmt das?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mo 20.06.2016 | | Autor: | Orkan5452 |
Ich bedanke mich soweit.
Mit freundlichen Grüßen
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