Komplexes Integral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{M}{cos(t^{2}) dt}=-0,5\integral_{0}^{M}{e^{i(M+it)^{2}} dt}
[/mm]
wobei M gegen unendlich gehen soll. |
Hi
Das oben ist nicht die ganze Aufgabe, es ist aber der Teil der mir Probleme macht. Es ist im ganzen eine sehr große Aufgabe bei der man im Endeffekt [mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(x^{2}) dx} [/mm] berechnen soll. Man geht dafür über folgendes Integral und soll für [mm] \gamma [/mm] einen vorgegebenen skizierten Weg benutzen: [mm] \integral_{\gamma}^{}{e^{iz^{2}} dt}
[/mm]
ich komm nach 2 Seiten Rechnung auf obigen Term. Der Tipp heißt nun:
verwenden Sie an gegebener Stelle: [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}=\wurzel{\pi} [/mm] /2
Ich weiß nicht wie ich den rechten Term so auflösen soll dass da was raus kommt was sinn macht. hoffe es kann mir jemand helfen.
Lg
Jaquy
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Mi 21.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jaquy!
> [mm]\integral_{0}^{M}{cos(t^{2}) dt}=-0,5\integral_{0}^{M}{e^{i(M+it)^{2}} dt}[/mm]
>
> wobei M gegen unendlich gehen soll.
> Hi
>
> Das oben ist nicht die ganze Aufgabe, es ist aber der Teil
> der mir Probleme macht. Es ist im ganzen eine sehr große
> Aufgabe bei der man im Endeffekt
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{cos(x^{2}) dx}[/mm] berechnen soll. Man
> geht dafür über folgendes Integral und soll für [mm]\gamma[/mm]
> einen vorgegebenen skizierten Weg benutzen:
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{e^{iz^{2}} dt}[/mm]
> ich komm nach 2
> Seiten Rechnung auf obigen Term. Der Tipp heißt nun:
> verwenden Sie an gegebener Stelle:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}=\wurzel{\pi}[/mm] /2
> Ich weiß nicht wie ich den rechten Term so auflösen soll
> dass da was raus kommt was sinn macht. hoffe es kann mir
> jemand helfen.
Kannst du bitte noch posten, wie der Integrationsweg [mm] $\gamma$ [/mm] aussieht? Ich komme nicht auf das Integral oben.
(Ich würde als Integrationsweg das Dreieck mit den Ecken 0, M und [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}(1+i)M$ [/mm] nehmen. Das Wegintegral von 0 bis M ist was du suchst; das von M bis [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}(1+i)M$ [/mm] verschwindet für [mm] $M\rightarrow\infty$ [/mm] und das dritte lässt sich der Substitution [mm] $z^2=ix^2$ [/mm] auf das Integral [mm]\integral_{0}^{M}{e^{-x^{2}} dx}[/mm] zurückführen.)
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hi,
Der Weg ist das Dreieck mit den Ecken 0, M und M+iM. also hatte ich für
[mm] \gamma [/mm] 1(t)=t
[mm] \gamma [/mm] 2(t)=M+it
[mm] \gamma [/mm] 3(t)=-it
die integrale dann aufteilen und das erste und das dritte zusammen ergeben dann [mm] 2cos(t^{2}). [/mm] und das zweite ist das was ich in der frage schon da stehen hatte. Die 2 hab ich rüber gezogen und deswegen das 0,5.
ich hoffe das war ok beschrieben.
Jaquy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:16 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hast Du Dich verschrieben, aber Dein 3. Weg ist mit Sicherheit falsch
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Wäre nicht t--> (M-t)(1+i) für t zwischen 0 und M besser ?
|
|
|
| |
|
Ja das stimmt natürlich. der dritte weg ist quatsch.
hab als [mm] \gamma [/mm] 3 (t)= (m-t)-i(m-t)
das macht deutlich mehr sinn.
aber auf ein Ergebnis komm ich leider trotzdem nicht.
lg jaquy
|
|
|
| |
|
ahhh, hab mich schon wieder verschieben. sorry also [mm] \gamma3= [/mm] (m-t)+i(m-t)
jaquy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich habe versucht, Deine Rechnung nachzuvollziehen, das ist mir aber nicht gelungen.
Ein gut gemeinter Rat: beginne die ganze Rechnerei von vorne.
Das Integral über den 2. Weg mußt Du Abschätzen ( es ist kleiner oder gleich1/M)
Übrigens: in Deiner Aufgabe geht es um die sogenannten "Fresnelschen Integrale ". In (jedem ?) Buch zur Funktionentheorie findest Du etwas darüber,
mit etwas Glück vielleicht genau die Rechnung, die man Dir abverlangt)
Schau mal bei R. Remmert
FRED
|
|
|
| |
|
Danke für den Tipp, meine Ursprüngliche Rechnung war echt quatsch.
hab jetzt was schönes raus.
Lg
Jaquy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Was denn ?
FRED
|
|
|
| |
|
hi nochmal,
ich bin mir jetzt nicht mehr ganz sicher und hab die sachen jetzt gerade nicht da aber ich gaube es war [mm] \bruch{\wurzel{2\pi}}{4}.
[/mm]
ja das müsste es gewesen sein.
danke nochmal
jaquy
|
|
|
|
