Komplexes Polynom < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei p(z) = [mm] \alpha_{0} [/mm] + [mm] \alpha_{1}z [/mm] + [mm] \alpha_{2}z^{2} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n}z^{n} [/mm] mit [mm] a_{n} \in \IC [/mm] ein Polynom. Es gelte [mm] p(\overline{z}) [/mm] = [mm] \overline{-p(z)} \forall [/mm] z [mm] \in \IC. [/mm] Bestimmen und skizzieren Sie die Menge, in der alle Koeffizenten [mm] \alpha_{n} [/mm] liegen müssen. |
Guten Abend,
ich habe bei der obigen Aufgabe echt so meine Probleme. Ich weiß leider gar nicht wie ich da überhaupt vorgehen soll. Vielleicht hat jemand einen Tipp für mich, würde mich über jede Hilfe freuen.
LG Loriot95
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Gehe mit dem Ansatz
[mm]p(z) = \sum \alpha_k z^k[/mm]
in die vorgegebene Relation, beachte die Verträglichkeit der komplexen Konjugation mit den Grundrechenarten und führe einen Koeffizientenvergleich durch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Gehe mit dem Ansatz
>
> [mm]p(z) = \sum \alpha_k z^k[/mm]
>
> in die vorgegebene Relation, beachte die Verträglichkeit
> der komplexen Konjugation mit den Grundrechenarten und
> führe einen Koeffizientenvergleich durch.
Nimms mir bitte nicht übel, aber ich verstehe kein bisschen wo von du redest. Welche Relation meinst du? Wie soll ich da in diese Relation gehen? Wie macht man da einen Koeffizentenvergleich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Fr 04.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch die Gleichung die du hast erstmal die Polynome als Summen
dann vergleiche die Realteile und die Imagimärteile- was ist denn etwa
[mm]\overline{\summe_{i=1}^{n} a_kz^k} \textrm{ und was }p(\overline{z})[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm selbst das fällt mir schwer... Also sei z:= x+yi und [mm] \overline{z}=x [/mm] - yi.
[mm] p(\overline{z}) [/mm] = [mm] \alpha_{0} [/mm] + [mm] \alpha_{1}x [/mm] - [mm] \alpha_{1}yi [/mm] + [mm] \alpha_{2}x^{2} [/mm] - 2 [mm] \alpha_{2}xyi [/mm] - [mm] \alpha_{2} y^{2} [/mm] + ... [mm] \alpha_{n}(x-yi)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \alpha_{k}(x-yi)^{k}
[/mm]
und
[mm] \overline{-p(z)} [/mm] = [mm] -\alpha_{0} [/mm] - [mm] \alpha_{1}x [/mm] + [mm] \alpha_{1}yi -...-\alpha_{n}(x+yi)^{n} [/mm] = [mm] \overline{-\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k}(x-yi)^{k}}
[/mm]
Stimmt das so überhaupt?
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Die komplexe Konjugation ist mit den Grundrechenarten verträglich. Das bedeutet, daß für alle [mm]z,w \in \mathbb{C}[/mm] gilt:
[mm](\*) \ \ \ \overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w} \, , \ \ \overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \, , \ \ \overline{\left( \frac{z}{w} \right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} \ \ (w \neq 0)[/mm]
Die Verträglichkeit mit der Multiplikation überträgt sich sofort auf Potenzen:
[mm]\overline{z^k} = \overline{z}^{\, k}[/mm]
Wenn du jetzt mit dem Ansatz [mm]p(z) = \sum \alpha_k z^k[/mm] (die Summe läuft von [mm]k=0[/mm] bis [mm]k=n[/mm]) in die vorausgesetzte Relation gehst, also
[mm]p \left( \overline{z} \right) = - \overline{p(z)}[/mm]
(ob man rechts das Minuszeichen unter die Konjugation zieht oder nicht, ist wegen der ersten Beziehung in [mm](\*)[/mm] egal)
so erhältst du
[mm]\sum \alpha_k \overline{z}^{\, k} = - \overline{\sum \alpha_k z^k}[/mm]
Jetzt verwende rechts die oben aufgeführten Verträglichkeiten und führe einen Koeffizientenvergleich durch. Dann bist du schon fertig. Eine Trennung in Real- und Imaginärteil ist nicht erforderlich. Das würde alles nur komplizierter machen.
Übrigens: Daß im Zusammenhang mit Polynomen der Begriff Koeffizient noch nicht gefallen sein soll, ist nicht glaubhaft. Denn dieser ist konstituierend für ein Polynom. Schau also gegebenenfalls in deinen Unterlagen nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für deine Antwort. Was ein koeffizenten Vergleich ist weiß ich. Aber ich verstehe nicht weshalb und wie ich den hier überhaupt anwenden soll. Die Koeffizenten von beiden Polynomen sind doch die gleichen... ? Ich versteh wirklich nicht wie ich das hier bewerkstelligen soll...
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> Vielen Dank für deine Antwort. Was ein koeffizenten
> Vergleich ist weiß ich. Aber ich verstehe nicht weshalb
> und wie ich den hier überhaupt anwenden soll. Die
> Koeffizenten von beiden Polynomen sind doch die gleichen...
> ? Ich versteh wirklich nicht wie ich das hier
> bewerkstelligen soll...
Aus der Gleichung
$ [mm] \sum \alpha_k *\overline{z}^{\, k} [/mm] = - [mm] \overline{\sum \alpha_k* z^k} [/mm] $
erhält man durch Anwendung der Verträglichkeitsregeln:
$ [mm] \sum \alpha_k* \overline{z}^{\, k} [/mm] = [mm] {\sum -\overline{\alpha_k}* \overline{z}^k} [/mm] $
Wenn diese Gleichung für alle [mm] z\in\IC [/mm] und damit auch für
alle komplexen Werte von [mm] \overline{z} [/mm] gelten soll, so
müssen die Koeffizienten der linken Seite mit jenen
der rechten Seite gliedweise, also für jedes einzelne k ,
übereinstimmen.
Jetzt musst du dir noch klar machen, was dies für
die möglichen Werte der [mm] \alpha_k [/mm] genau bedeutet.
LG Al-Chw.
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Betrachte das Polynom
[mm]l(w) = \sum \alpha_k w^k[/mm]
und das Polynom
[mm]r(w) = \sum \underbrace{\left(- \overline{\alpha_k} \right)}_{= \beta_k} w^k[/mm]
Für [mm]w = \overline{z}[/mm] gilt [mm]l(w) = r(w)[/mm]. Das bekommst du gerade, wenn du endlich einmal meinen Vorschlag ausführst und die Verträglichkeit der komplexen Konjugation mit den Grundrechenarten verwendest. Wenn aber [mm]z[/mm] alle komplexen Zahlen durchläuft, dann durchläuft auch [mm]w = \overline{z}[/mm] alle komplexen Zahlen. Somit gilt
[mm]l(w) = r(w)[/mm] für alle [mm]w \in \mathbb{C}[/mm]
Zwei Polynome sind aber nur dann gleich, wenn sie in den Koeffizienten übereinstimmen (Identitätssatz). Und daraus folgt alles Weitere.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke euch. Ich glaube so langsam fange ich an zu verstehen. Also es muss z.B - [mm] \overline{\alpha_{0}} [/mm] = [mm] \alpha_{0} [/mm] gelten. Das würde schon mal gelten, wenn [mm] \alpha_{0} [/mm] = 0 wäre oder wenn [mm] \alpha_{0} [/mm] rein imaginär wäre. D.h entweder wäre [mm] \summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}\overline{z^{k}} =\overline{ -\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}z^{k}} [/mm] = 0 oder [mm] \summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}\overline{z^{k}} =\overline{ -\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}z^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} Im(\alpha_{k}) \overline{z}^{k}
[/mm]
Habe ich das so richtig verstanden?
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Danke euch. Ich glaube so langsam fange ich an zu
> verstehen. Also es muss z.B - [mm]\overline{\alpha_{0}}[/mm] = [mm]\alpha_{0}[/mm] gelten. Das würde schon mal gelten, wenn
> [mm]\alpha_{0}[/mm] = 0 wäre oder wenn [mm]\alpha_{0}[/mm] rein imaginär
> wäre. D.h entweder wäre [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}\overline{z^{k}} =\overline{ -\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}z^{k}}[/mm] = 0
Ja, wenn alle Koeffizienten Null wären
> oder [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}\overline{z^{k}} =\overline{ -\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}z^{k}}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} Im(\alpha_{k}) \overline{z}^{k}[/mm]
Nicht ganz, du meinst es aber glaube ich richtig.
Es ist [mm]\operatorname{Im}(\alpha_k)[/mm] aber eine reelle Zahl.
Für [mm]\alpha_k=a_k+ib_k[/mm] ist [mm]\operatorname{Im}(\alpha_k)=b_k\in\IR[/mm]
Du meinst sicher [mm]\red{i\cdot{}}\operatorname{Im}(\alpha_k)...[/mm]
>
> Habe ich das so richtig verstanden?
Ja, nochmal zusammengefasst:
Du hast für alle [mm]k[/mm] die Beziehung [mm]\alpha_k=-\overline{\alpha_k}[/mm]
Mit [mm]\alpha_k=a_k+ib_k}[/mm] ist also [mm]-\overline{\alpha_k}=-(\overline{a_k+ib_k})=-(a_k-ib_k)=-a_k+ib_k[/mm]
Also [mm]a_k+ib_k=-a_k+ib_k[/mm]
Da komplexe Zahlen gleich sind, wenn sie in Imaginär- und Realteil übereinstimmen, muss gelten
[mm]a_k=-a_k[/mm] und [mm]b_k=b_k[/mm]
Also [mm]a_k=0[/mm] und [mm]b_k\in\IR[/mm] beliebig.
Damit hast du (zumindest für deine Aussage [mm]\alpha_0[/mm] betreffend) recht, mehr noch: es müssen alle Koeffizienten rein imaginär sein (oder 0)
>
> LG Loriot95
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo Loriot,
>
>
> > Danke euch. Ich glaube so langsam fange ich an zu
> > verstehen. Also es muss z.B - [mm]\overline{\alpha_{0}}[/mm] =
> [mm]\alpha_{0}[/mm] gelten. Das würde schon mal gelten, wenn
> > [mm]\alpha_{0}[/mm] = 0 wäre oder wenn [mm]\alpha_{0}[/mm] rein imaginär
> > wäre. D.h entweder wäre [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}\overline{z^{k}} =\overline{ -\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}z^{k}}[/mm]
> = 0
>
> Ja, wenn alle Koeffizienten Null wären
>
> > oder [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}\overline{z^{k}} =\overline{ -\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}z^{k}}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} Im(\alpha_{k}) \overline{z}^{k}[/mm]
>
> Nicht ganz, du meinst es aber glaube ich richtig.
>
> Es ist [mm]\operatorname{Im}(\alpha_k)[/mm] aber eine reelle Zahl.
>
> Für [mm]\alpha_k=a_k+ib_k[/mm] ist
> [mm]\operatorname{Im}(\alpha_k)=b_k\in\IR[/mm]
>
> Du meinst sicher
> [mm]\red{i\cdot{}}\operatorname{Im}(\alpha_k)...[/mm]
Ja, richtig das hatte ich gemeint.
> >
> > Habe ich das so richtig verstanden?
>
> Ja, nochmal zusammengefasst:
>
> Du hast für alle [mm]k[/mm] die Beziehung
> [mm]\alpha_k=-\overline{\alpha_k}[/mm]
>
> Mit [mm]\alpha_k=a_k+ib_k}[/mm] ist also
> [mm]-\overline{\alpha_k}=-(\overline{a_k+ib_k})=-(a_k-ib_k)=-a_k+ib_k[/mm]
>
> Also [mm]a_k+ib_k=-a_k+ib_k[/mm]
>
> Da komplexe Zahlen gleich sind, wenn sie in Imaginär- und
> Realteil übereinstimmen, muss gelten
>
> [mm]a_k=-a_k[/mm] und [mm]b_k=b_k[/mm]
>
> Also [mm]a_k=0[/mm] und [mm]b_k\in\IR[/mm] beliebig.
>
> Damit hast du (zumindest für deine Aussage [mm]\alpha_0[/mm]
> betreffend) recht, mehr noch: es müssen alle Koeffizienten
> rein imaginär sein (oder 0)
>
> >
> > LG Loriot95
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Ok vielen Dank für eure Hilfe und eure Geduld. Ist es dann so, dass es sich beim Skizzieren nur um die Imaginäre Achse handelt?
LG Loriot95
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Hallo nochmal,
> > Hallo Loriot,
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> >
> > > Danke euch. Ich glaube so langsam fange ich an zu
> > > verstehen. Also es muss z.B - [mm]\overline{\alpha_{0}}[/mm] =
> > [mm]\alpha_{0}[/mm] gelten. Das würde schon mal gelten, wenn
> > > [mm]\alpha_{0}[/mm] = 0 wäre oder wenn [mm]\alpha_{0}[/mm] rein imaginär
> > > wäre. D.h entweder wäre [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}\overline{z^{k}} =\overline{ -\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}z^{k}}[/mm]
> > = 0
> >
> > Ja, wenn alle Koeffizienten Null wären
> >
> > > oder [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}\overline{z^{k}} =\overline{ -\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}z^{k}}[/mm]
> > = [mm]\summe_{k=0}^{n} Im(\alpha_{k}) \overline{z}^{k}[/mm]
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> > Nicht ganz, du meinst es aber glaube ich richtig.
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> > Es ist [mm]\operatorname{Im}(\alpha_k)[/mm] aber eine reelle Zahl.
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> > Für [mm]\alpha_k=a_k+ib_k[/mm] ist
> > [mm]\operatorname{Im}(\alpha_k)=b_k\in\IR[/mm]
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> > Du meinst sicher
> > [mm]\red{i\cdot{}}\operatorname{Im}(\alpha_k)...[/mm]
> Ja, richtig das hatte ich gemeint.
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> > > Habe ich das so richtig verstanden?
> >
> > Ja, nochmal zusammengefasst:
> >
> > Du hast für alle [mm]k[/mm] die Beziehung
> > [mm]\alpha_k=-\overline{\alpha_k}[/mm]
> >
> > Mit [mm]\alpha_k=a_k+ib_k}[/mm] ist also
> >
> [mm]-\overline{\alpha_k}=-(\overline{a_k+ib_k})=-(a_k-ib_k)=-a_k+ib_k[/mm]
> >
> > Also [mm]a_k+ib_k=-a_k+ib_k[/mm]
> >
> > Da komplexe Zahlen gleich sind, wenn sie in Imaginär- und
> > Realteil übereinstimmen, muss gelten
> >
> > [mm]a_k=-a_k[/mm] und [mm]b_k=b_k[/mm]
> >
> > Also [mm]a_k=0[/mm] und [mm]b_k\in\IR[/mm] beliebig.
> >
> > Damit hast du (zumindest für deine Aussage [mm]\alpha_0[/mm]
> > betreffend) recht, mehr noch: es müssen alle Koeffizienten
> > rein imaginär sein (oder 0)
> >
> > >
> > > LG Loriot95
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Ok vielen Dank für eure Hilfe und eure Geduld. Ist es dann
> so, dass es sich beim Skizzieren nur um die Imaginäre
> Achse handelt?
Jo!
>
> LG Loriot95
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke :)
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