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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Fr 26.12.2008 | | Autor: | Pompeius |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren: [mm] \vec{w}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] ; [mm] \vec{a}= \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] und die Ebene E:x1+x2+2x3=0
Der Vektor [mm] \vec{w} [/mm] soll aus zwei Komponenten [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] zusammengesetzt sein, wobei eine der Komponenten orthogonal zu [mm] \vec{a} [/mm] ist und die andere orthogonal zu der Ebene E. |
Hey Leute !
Ein orthogonaler Vektor zu E wäre ja der Normalenvektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] aus der parameterfreien Darstellung von E.
Also könnte eine Komponente ja z.B [mm] \delta\vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] sein.
Ein orthogonaler Vektor zu [mm] \vec{a} [/mm] muss die Gleichung [mm] \vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}=0 [/mm] erfüllen, weil das skalare Produkt ja 0 sein muss ..Gesucht wäre dann eine Lösung für 2x+y+2z=0 und eine mögliche Lösung wäre z.b [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}.
[/mm]
Die zweite Komponente könnte also [mm] \lambda\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] sein ..
Es gilt ja: [mm] \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}
[/mm]
Und meine Idee ist jetzt: [mm] \vec{w}=\lambda\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\delta\vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] ..
Nur komme ich dabei ja auf ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten !
Wäre nett wenn mir mal jemand helfen könnte ! Also danke schon mal !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Fr 26.12.2008 | | Autor: | heusspower |
> Gegeben seien die Vektoren: [mm]\vec{w}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] ;
> [mm]\vec{a}= \vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] und die Ebene E:x1+x2+2x3=0
> Der Vektor [mm]\vec{w}[/mm] soll aus zwei Komponenten [mm]\vec{u}[/mm] und
> [mm]\vec{v}[/mm] zusammengesetzt sein, wobei eine der Komponenten
> orthogonal zu [mm]\vec{a}[/mm] ist und die andere orthogonal zu der
> Ebene E.
> Hey Leute !
>
> Ein orthogonaler Vektor zu E wäre ja der Normalenvektor
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] aus der parameterfreien Darstellung
> von E.
> Also könnte eine Komponente ja z.B [mm]\delta\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> sein.
> Ein orthogonaler Vektor zu [mm]\vec{a}[/mm] muss die Gleichung
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}=0[/mm] erfüllen, weil
> das skalare Produkt ja 0 sein muss ..Gesucht wäre dann eine
> Lösung für 2x+y+2z=0 und eine mögliche Lösung wäre z.b
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}.[/mm]
Eine mögliche Lösung darfst du hier wohl nicht auswählen.
Ich glaube, dass richtig ist, die Gleichungen
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}=0
[/mm]
und
[mm]\delta\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm] \lambda\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
zu betrachten.
Wähle mal als mögliche Lösung nicht für x,y,z passende Größen sondern wähle nur für x eine Größe, z.B. x=1, also:
[mm] \vektor{1 \\ y \\ z} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}=0
[/mm]
und
[mm]\delta\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm] \lambda\vektor{1 \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Dann hast du vier Gleichungen mit vier Variablen, das müsste lösbar sein
Angaben aber ohne Gewähr!
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hallo Pompeius,
es geht auch etwas einfacher ohne die zusätzliche
Variable [mm] \lambda:
[/mm]
Sei [mm] $\vec{u}=\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] und [mm] $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$
[/mm]
Wegen [mm] \vec{u}*\vec{a}=0 [/mm] muss gelten
(1) $\ 2x+y+2z=0$
Der Vektor [mm] $\vec{v}=\vec{w}-\vec{u}$ [/mm] soll zu E normal sein,
also gilt
(2) $\ [mm] \vec{v}=\vec{w}-\vec{u}=\vektor{1-x\\2-y\\3-z}=\delta*\vektor{1\\1\\2}$
[/mm]
In den Gleichungen (1) und (2) stecken insgesamt
4 lineare Gleichungen für die 4 Unbekannten x,y,z und [mm] \delta [/mm] .
LG Al-Chw.
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