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Hi,
ich bin gerade dabei bei einer Aufgabe die Kompositions-Operation zu verstehen. Ich nehme dazu mal das ![[]](/images/popup.gif) Beispiel aus dem Wikipedia: (Zur Zeit ist das Wikipedia allerdings schwer zu erreichen)
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 }[/mm]
Das ist mir eigentlich klar. Man hätte in dem Artikel evtl. etwas klarer definieren können, dass es sich um eine Hintereinanderausführung von "Rechts nach Links" handelt. Soweit ich weiß muss man das doch bei einer Komposition immer definieren, oder?
Mein Problem sind eher Kompositionen, wenn beide Mengen eine unterschiedliche Anzahl von Elementen beinhaltet. Also das Beispiel weiter unten:
[mm](132) \circ (23) = (13)[/mm]
[mm](23) \circ (132) = (12)[/mm]
Leider steht dahinter nicht so schön die Erklärung wie bei der anderen Komposition. In meinem Buch hab ich auch kein Beispiel dazu gefunden. Kann es jemand kurz erklären wie die Regel dafür ist bei Mengen mit nicht gleicher Anzahl Elemente?
Gruß
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Di 04.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi andreas
> Hi,
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> ich bin gerade dabei bei einer Aufgabe die
> Kompositions-Operation zu verstehen. Ich nehme dazu mal das
> Beispiel aus dem
> Wikipedia: (Zur Zeit ist das Wikipedia allerdings schwer zu
> erreichen)
ich kann wikipedia im moment überhaupt nicht erreichen. naja.
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 }[/mm]
>
>
> Das ist mir eigentlich klar. Man hätte in dem Artikel evtl.
> etwas klarer definieren können, dass es sich um eine
> Hintereinanderausführung von "Rechts nach Links" handelt.
> Soweit ich weiß muss man das doch bei einer Komposition
> immer definieren, oder?
im prinzip schon. aber meines wissens ist es üblich bei der [mm] "$\circ$"-verknüpfung [/mm] von rechts nach links auszuwerten, aber man sollte es lieber mit angeben.
> Mein Problem sind eher Kompositionen, wenn beide Mengen
> eine unterschiedliche Anzahl von Elementen beinhaltet. Also
> das Beispiel weiter unten:
>
> [mm](132) \circ (23) = (13)[/mm]
> [mm](23) \circ (132) = (12)[/mm]
das obere ist genau das selbe beispiel, dass du oben auch schon angegeben hast. hier wird nur eine andere schreibweise, die sogenannte "zyklenschreibweise", verwandt. dabei bdeutet, wenn [mm] $\sigma$ [/mm] sich in der form $(abc)$ darstellen lässt, dass dann [mm] $\sigma(a) [/mm] = b, [mm] \; \sigma(b) [/mm] = c, [mm] \; \sigma(c) [/mm] = a$, es wird also alles im prinzip nach rechts verschoben. in deinem beispiel bedeutet $(132)$, dass diese permutation $1$ auf $3$, $3$ auf $2$ und $2$ auf $1$ abbildet, das sie sich also um die permutation
[m] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/m]
handelt. machst du dies mit den anderen beiden angegeben permutationen genauso, dann siehst du das die beispiele die selben sind. wird eine elemnt gar nicht erwähnt, so wird es auf sich selbst abgeildet. sobald du mehr als 3 elemente zu permutieren hast, können auch disjunkte zyklen auftreten, also z.b. stellt in der [mm] $S_4$ [/mm] $(13)(24)$ die permutation
[m] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2} [/m]
dar.
ich hoffe das hilft für den anfang mal.
> Gruß
> Andreas
grüße
andreas
edit: falls es dir darum ging, wie man die komposition abliest, kann man das z.b. so machen: [mm](132) \circ (23) = (13)[/mm] durch die permuation $(23)$ wird die $2$ auf die $3$ abgebildet (einfach auf das element, das hinter der $2$ steht, dann wird durch $(132)$ die $3$ auf die $2$ abgebildte, also auf das elemnet, das hinter der $3$ steht, durch die komposition wird also die $2$ wieder auf die $2$ abgebildet und taucht somit in der zyklenschreibweise auf der rechten seite nicht auf! und so weiter.
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> edit: falls es dir darum ging, wie man die komposition
> abliest, kann man das z.b. so machen: [mm](132) \circ (23) = (13)[/mm]
> durch die permuation [mm](23)[/mm] wird die [mm]2[/mm] auf die [mm]3[/mm] abgebildet
> (einfach auf das element, das hinter der [mm]2[/mm] steht, dann wird
> durch [mm](132)[/mm] die [mm]3[/mm] auf die [mm]2[/mm] abgebildte, also auf das
> elemnet, das hinter der [mm]3[/mm] steht, durch die komposition wird
> also die [mm]2[/mm] wieder auf die [mm]2[/mm] abgebildet und taucht somit in
> der zyklenschreibweise auf der rechten seite nicht auf! und
> so weiter.
Danke, genau um das Ablesen ging es mir erstmal. Leider blicke ich bei deiner Erklärung nicht ganz durch. Da sind einfach zu viele 1,2 und 3en um das irgendwie noch zu durchschauen 
Also ich versuch nochmal detailiert nachzufragen.
Als erstes verstehe ich nicht warum hier gezykelt wird und warum. Woran sehe ich, wenn es die ZYklenschreibweise ist oder nicht?
[mm](132) \circ (23) = (13)[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } \circ \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 } = \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 3 }[/mm]
Von Rechts nach Links:
1 geht in 2, 2 geht in 1
2 geht in 3, 3 geht in 2
Also komme ich auf (12), was ja eindeutig nicht mit dem (13) der Lösung übereinstimmt.
Das andere Beispiel bekomm ich genauso nicht hin:
[mm](23) \circ (132) = (12)[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } = \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 }[/mm]
Also hier hab ich wieder die dreielementige Menge gezykelt (weiß immer noch nicht genau wieso). Jetzt wieder von Rechts nach Links:
1 geht in 3, 3 geht in nix (tja, was jetzt?)
2 geht in 1, 1 geht in 2
3 geht in 2, 2 geht in 3
Passt irgendwie nicht ganz.
Irgendwas mach ich glaube ich total falsch. Was mache ich falsch? Vielleicht siehst du ja mein Verständnisproblem und kannst mir helfen.
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Di 04.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo andreas
> Danke, genau um das Ablesen ging es mir erstmal. Leider
> blicke ich bei deiner Erklärung nicht ganz durch. Da sind
> einfach zu viele 1,2 und 3en um das irgendwie noch zu
> durchschauen
>
> Also ich versuch nochmal detailiert nachzufragen.
>
> Als erstes verstehe ich nicht warum hier gezykelt wird und
> warum. Woran sehe ich, wenn es die ZYklenschreibweise ist
> oder nicht?
also die zyklenschreibweise hat immer eine "einzeilige" form, also z.b.
> [mm](132) \circ (23) = (13)[/mm]
und die "gewöhnliche" darstellung hat eine art matrix-form:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm]
hier ist erstmal ein ganz wichtiger hinweis angebracht. sowas wie
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } \circ \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 } = \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 3 }[/mm]
kann keinen sinn machen da man bei permutationsverknüpfungen immer permutationen der gleichen anzahl an elemneten miteinander verknüpfen muss, also z.b. immer permutationen von 3 elementen und muss auch dann wenn garnichts gemacht wird - die identische abbildung - in dieser "matrix"-schreibweise alle elemnete aufschreiben:
[mm]\textrm{id} = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm]
um jetzt nochmal den zusammenhang zwischen den beiden schreibweisen herzustellen, stelle ich die permutation $ [mm] \sigma [/mm] := (23)$ in zykelnschreibweise in der "normalen" form dar:
wie vorher: in dem zykel geht immer ein element, auf das elemnet, das dahinter steht, also geht die $2$ auf die $3$, also weiß man jetzt schonmal, dass diese permuation diese
[mm] \sigma = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ \cdot & 3 & \cdot }[/mm]
form hat. die $3$ geht nun auf das element, das dahinter steht, da da aber die schließende klammer kommt, geht die drei auf das element, das am anfang des zykels steht, hier also auf die $2$, also hat die permutation diese form:
[mm] \sigma = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ \cdot & 3 & 2 }[/mm]
jetzt sind aber alle informtaionen, die zur verfügung standen verbraucht, also gehen die restliche elemente auf sich selbst, also die $1$ auf die $1$, et volià:
[mm]\sigma = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }[/mm]
um das noch etwas zu verdeutlichen mal eine permutation von $7$-elementen (die anzahl der zu permutierenden elemente sollte man bei der zykelschreibweise möglichst immer angeben, höchstens es ist klar, dass es nicht zu solchen verwechslungen wie bei dir oben kommt!): [mm] $\tau [/mm] := (716)(42) [mm] \in S_7$. [/mm] hier erhält man nun: die $7$ geht auf das nächste element, also die $1$:
[m] \tau = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1} [/m],
dann geht die $1$ auf das nächste element des zykels, also auf die $6$, also
[m] \tau = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1} [/m],
und nun die $6$ auf das nächste element des zykels. hier kommt jetzt die schließende klammer, also geht die $6$ auf das erste element dieses zykels, also auf die $7$:
[m] \tau = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 7 & 1} [/m].
der nächste zykel: die $4$ geht auf das nächste element des zykels, also auf die $2$:
[m] \tau = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & \cdot & \cdot & 2 & \cdot & 7 & 1} [/m],
nun noch die $2$ auf die $4$, also
[m] \tau = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & \cdot & 2 & \cdot & 7 & 1} [/m].
jetzt noch die fehelnden einträge identisch nach unten übertrafegen und man erhält als:
[m] \tau = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 3 & 2 & 5 & 7 & 1} [/m]
am besten du schreibst mal alle $6$ elemente der [mm] $S_3$ [/mm] (oder besser noch der [mm] $S_4$ [/mm] ) in normaler und in zykeln-schreibweise auf, dann wird dir das schon klar!
wenn dir der zusammenhang zwischen den schreibweisen klar ist, sollte dir auch die art wie man in zykelnschreibweise verknüpft klar sein. wenn nicht, melde dich nochmal.
grüße
andreas
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Hi,
ich glaub jetzt hab ich den Dreh raus. Ist eigentlich recht einfach nur schwer zu erklären. Am einfachsten würde sich das wohl mit Einer Zeichnung mit vielen Pfeilen erklären lassen, damit man den Überblick nicht verliert.
Also zum Abschluss schreibe ich jetzt alles nochmal hin:
[mm](132) \circ (23) = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 }[/mm]
Dann ist [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 } = (13)[/mm]
Stimmt also mit der Lösung überein. Die andere Aufgabe analog dazu. Endlich weiß ich auch, was du damit gemeint hast es ist die gleiche Aufgabe wie die oben
> am besten du schreibst mal alle 6 elemente der $ [mm] S_3 [/mm] $ (oder besser noch der $ [mm] S_4 [/mm] $
> ) in normaler und in zykeln-schreibweise auf, dann wird dir das schon klar!
> wenn dir der zusammenhang zwischen den schreibweisen klar
> ist, sollte dir auch die art wie man in zykelnschreibweise
> verknüpft klar sein. wenn nicht, melde dich nochmal.
Also die 24 Elemente der $ [mm] S_4 [/mm] $ hab ich mir dann doch gespart
Ansonsten hab ich es, so glaube ich, verstanden. Ich sehe es also richtig, dass ich bei der Zyklischen Schreibweise im Kopf immer erst eine Änderung in die normale Schreibweise mache, diese komponiere (sagt man das so, oder eher verkette?) und danach wieder zurück bringe in die zyklische Darstellung. Oder gibt es auch noch einen einfachen Trick um diese Rechnung im Kopf etwas zu beschleunigen?
Gruß
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Di 04.01.2005 | | Autor: | moudi |
Ich würde sagen mit der Zykelschreibweise geht es viel schneller.
Ich mach mal ein Beispiel: (325)(73)(641)(132) die "Multiplikation" lasse ich weg. Was ist das für eine Permutation in Zykelschreibweise?
Ich beginnen mit der 1 und ich lese von rechts nach links.
Zuerst wird 1 auf 3 abgebildet, dann im zweiten wird 3 auf 3 abgebildet, im dritten Zykel wird 3 auf 7 abgebildet, im letzten Zykel wird 7 auf 7 abgebildet.
Also wird 1 auf 7 abgebildet und ich schreibe (17
Dann gehts mit der 7 weiter. Sie wird im ersten Zykel auf 7 abgebildet, im zweiten Zykel wieder auf 7, im dritten Zykel auf die 3, um im vierten Zykel wird die 3 auf 2 abgebildet. Also wird im Ganzen die 7 auf die 2 abgebildet.
Ich schreibe also (172
Dann gehts mit der 2 weiter. Sie wird im ersten Zykel auf die 1 abgebildet, die 1 wird im zweiten Zykel auf die 6 abgebildet, die 6 wird im dritten Zykel auf sich selber und im vierten Zykel ebenfalls auf sich selber abgebildet. Im ganzen also 2 auf 6.
Ich schreibe also (1726
Dann gehts mit der 6 weiter. Sie wird im ersten Zykel auf sich selber, im zweiten Zykel auf die 4, die 4 wird im dritten Zykel auf sich selber und im letzten Zykel nochmals auf sich selber abgebildet. Im ganzen also 6 auf 4.
Ich schreibe (17264
Dann gehts mit der 4 weiter. Sie wird im ersten Zykel auf sich selber, im zweiten Zykel auf die 1, die 1 im dritten Zykel auf sich selber, um im letzten Zykel ebenfalls auf sich selber abgebildet. Im Ganzen also 4 auf 1.
Ich schreibe (17254)
Jetzt nehme ich die erste Zahl, die ich noch nicht habe. Das ist die 3. Sie wird im ersten Zykel auf die 2, die 2 im zweiten Zykel auf sich selber, im dritten Zykel ebenfalls auf sich selber und im vierten Zykel auf die 5 abgebildet. Im Ganzen also 3 auf 5.
Ich schreibe (17254)(35
Jetzt geht es mit der 5 weiter. Sie wird im ersten Zykel auf sich selber, dann im zweiten Zykel auf sich selber, im dritten Zykel auf sich selber, und im vierten Zykel auf die 3 abgebildet. Im Ganzen also 5 auf 3.
Ich schreibe (17254) (35).
Das ist die Zykelschreibweise des Produkts. (Es geht natürlich viel schneller als du lesen kannst ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") )
mfG Moudi
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> Ich würde sagen mit der Zykelschreibweise geht es viel
> schneller.
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> Ich mach mal ein Beispiel: (325)(73)(641)(132) die
> "Multiplikation" lasse ich weg. Was ist das für eine
> Permutation in Zykelschreibweise?
>
> Ich beginnen mit der 1 und ich lese von rechts nach
> links.
>
> Zuerst wird 1 auf 3 abgebildet, dann im zweiten wird 3 auf
> 3 abgebildet, im dritten Zykel wird 3 auf 7 abgebildet, im
> letzten Zykel wird 7 auf 7 abgebildet.
> Also wird 1 auf 7 abgebildet und ich schreibe (17
Oh je, nachdem ich das vorher verstanden habe und nun auch die kleinen 3-Elementigen Zyklen ohne Zwischenschritt verknüpfen und umwandeln kann stehe ich hier wieder blöd da. Ich glaube es hängt immer noch irgendwo.
Bei dem Beispiel verstehe ich gleich mehrere Sachen nicht. Was heißt du willst es in Zyklenschreibweise haben? Ist das jetzt noch die "normale Schreibweise" wo man das zwei spaltig mit den 1 2 3... darüber schreiben müsste?
ich verstehe auch nicht wie du es gemacht hast und welchen Zweck das hat, obwohl du es wirklich so ausführlich beschrieben hast. Das Beispiel von andreas (ohne 99 ) verstehe ich ja noch:
[m]\tau := (716)(42) \in S_7 = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 3 & 2 & 5 & 7 & 1} [/m]
Wenn ich genauso verfahre komme ich darauf:
[m]\tau := (325)(73)(641)(132) = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 5 & 2 & 1 & 3 & 4 & 7} [/m]
Das wird vermutlich totaler Käse sein. Es tut mir auch leid ständig nochmal nachfragen zu müssen, aber ich hab immer noch nicht alles verstanden. :-(
Gruß
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:01 Sa 08.01.2005 | | Autor: | AnnaM |
Hallo Andreas,
Ich versuche es jetzt auch einmal 
Zurück zum einfachen Beispiel:
[mm] (132)\circ(23)
[/mm]
Wenn Du das übersetzt hast Du ja:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 &2}\circ\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }
[/mm]
Um dies auszurechnen fängst Du ja rechts mit der 1 an und denkst:
"1 auf die 1 und dann (links) 1 auf die 3" und schreibst:
[mm] \pmat{ 1 & * & * \\ 3 & * & * }
[/mm]
In der Zyklenschreibweise geht das genauso.
Du fängst rechts mit der 1 an. Da keine 1 da ist, liest Du 1 auf 1 und dann (links) 1 auf 3 (da die 3 hinter der 1 steht) und schreibst:
(13...
In deiner "normalen" Schreibweise würdest Du als nächstes die 2 nehmen und feststellen, dass auf ihrem Platz bleibt, dann die 3 und ... (Du weisst schon)
In der Zyklenschreibweise machst Du immer mit der Zahl weiter, die Du als letztes hingeschrieben hast, also mit der 3:
Du fängst wieder rechts an und liest 3 auf 2 (da hinter der 3 nichts steht und Du wieder vorne anfängst, also bei (23) steht die 2 "hinter" der 3)
und dann weiter (links) 2 auf 1 (da die 1 "hinter" der 2 steht).
Also insgesamt 3 auf 1.
Da Du die 1 schon hattest, machst du jetzt einfach die Klammer zu und hast somit (13).
(Dies heisst ja schon "1 auf 3" und "3 auf 1", da man wenn man hinten angekommen ist ja wieder vorne anfängt s.o.)
Da jetzt nur noch eine einzige Zahl (die 2) über ist bist du jetzt eigentlich schon fertig. Zur Sicherheit mache ich das jetzt trotzdem einmal.
Du fängst wieder rechts an und liest:
2 auf 3 (da die 3 hinter der 2 steht) und dann
(links) 3 auf 2 (da die 2 hinter der 3 steht)
Also geht die 2 wieder auf sich selber und man kann sie weglassen.
Voilá!
Ach ja, was ich jetzt fast vergessen hätte:
Wenn nicht nur eine Zahl über ist, sondern mehrere musst Du einfach mit der niedrigsten Zahl die Du noch nicht hattest weitermachen und eine neue Klammer anfangen. Daher kommt es vor das Du zum Beispiel solche Ergebnisse haben kannst:
[mm] (3241)\circ(12)=(14)(23)
[/mm]
Noch ein Beispiel für Dich zum Nachrechnen:
[mm] (4132)\circ(231)\circ(12)=(124)
[/mm]
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