Komposition differenzierbar < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mo 25.02.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Seien f,g gegeben sodass die Zusammensetzung g $ [mm] \circ [/mm] $ f in einer Umgebung von x Sinn macht. Ist nun f an der STelle x differenzierbar, und g an der Stelle f(x) differenzierbar, so ist g $ [mm] \circ [/mm] $ f an der STelle x differenzierbar und es gilt
(g $ [mm] \circ [/mm] $ f) ' (x) = g'(f(x)) f'(x) |
Servus,
Man kan das ja mit dem Differenzenquotienten machen und dann Fallunterscheidung da der Nenner 0 werden kann.
Aber da gibt es doch auch eine andere Möglichkeit:
Def:.f:(a,b) -> $ [mm] \IR [/mm] $ ist differenzierbar in x $ [mm] \in [/mm] $ (a,b) genau dann wenn es eine Zahl $ [mm] \lambda \in \IR [/mm] $ sodass die durch
R(h) = f(x+h) - f(x)- $ [mm] \lambda [/mm] $ h,
für h $ [mm] \in (-\sigma,\sigma) [/mm] $ für ein $ [mm] \delta>0 [/mm] $ defenierte Funktion R die Eigenschaft hat, dass
$ [mm] lim_{h->0} \frac{R(h)}{h}=0 [/mm] $
die Zahl $ [mm] \lambda [/mm] $ ist eindeutig bestimmt, und $ [mm] \lambda [/mm] $ =f'(x)
kann man das mithilfe der Definition nicht auch machen=?
Hier ist $ [mm] R_3(h_3) [/mm] $ = (g $ [mm] \circ [/mm] $ f) $ [mm] (x+h_3) [/mm] $ - (g $ [mm] \circ [/mm] $ f) (x) - $ [mm] \lambda_3 h_3 [/mm] $
ZuZeigen.: $ [mm] lim_{h_3 ->0} \frac{R_3(h_3)}{h_3}=0 [/mm] $
Hat wer eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:29 Di 26.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/forum/Beweis_der_Kettenregel/t902514
fred
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