Komposition mit Translationen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Di 12.03.2013 | | Autor: | Marcel93 |
| Aufgabe | Gegeben sind zwei Funktionen f und g durch ihre Funktionsvorschriften f(x).= [mm] x^2+ax+b [/mm] und g(x):= x2.
a) Schreiben Sie f als Komposition von g mit zwei Translationen (Hinweise:quadratische Ergänzungen).
b) Erklären Sie mit Ihrem Ergebnis aus a), wie sich der Graph von f aus dem Graphen von g herleiten lässt.
c) Der tiefste Punkt des Graphen von g ist (0,0). Bestimmen Sie unter Benutzung Ihres Ergebnisses aus b), den tiefsten Punkt des Graphen von f, Andere Herleitungen als die geforderte zählen nicht. |
Hallo Forum,
da ich bald eine Klausur schreibe, und trotzdem noch einige Dinge nicht verstehe, dachte ich mir, ich schau mal ob mir hier geholfen werden kann. In der gestellten Aufgabe soll ich f als Komposition von g mit zweit Translationen schreiben. Da ich noch bis vor kurzem überhaupt keinen schimmer hatte was ich da zu tun habe, hab ich mich ein wenig in Kompositionen eingearbeitet. Anschließend habe ich mir auch Translationen angeguckt. Allerdings, weiß ich immernochnicht was ich bei der Aufgabe machen soll. Das was in meinem Textbuch steht, lässt sich meines Erachtens nach nicht mit dem in Verbindung bringen, was in der gestellten Aufgabe steht. Könnte mir dabei jemand unter die Arme greifen?
mfg Marcel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marcel,
in der Aufgabenstellung gibt es ja bereits einige Hinweise, verwende diese doch!
Vorweg einige Fragen:
1.) Was ist eine Komposition?
2.) Was ist eine Translation?
3.) Was ist eine quadratische Ergänzung?
Du sollst ja nun f mit Hilfe zweiter Translationen und g darstellen, d.h. es muss folgendes gelten:
$f = [mm] T_1 \circ [/mm] g [mm] \circ T_2$, [/mm] wobei [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] deine Translationen sind (und mach dir mal klar, warum wahrscheinlich nicht $f = [mm] T_1 \circ T_2 \circ [/mm] g$ bzw $f = g [mm] \circ T_1 \circ T_2 [/mm] $ gemeint ist).
Um eine Idee für [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] zu bekommen, wurde dir ja schon der Tipp der quadratischen Ergänzung gegeben.
Mach das doch mal!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 13.03.2013 | | Autor: | Marcel93 |
> in der Aufgabenstellung gibt es ja bereits einige Hinweise,
> verwende diese doch!
> Vorweg einige Fragen:
>
> 1.) Was ist eine Komposition?
> 2.) Was ist eine Translation?
> 3.) Was ist eine quadratische Ergänzung?
>
> Du sollst ja nun f mit Hilfe zweiter Translationen und g
> darstellen, d.h. es muss folgendes gelten:
>
> [mm]f = T_1 \circ g \circ T_2[/mm], wobei [mm]T_1[/mm] und [mm]T_2[/mm] deine
> Translationen sind (und mach dir mal klar, warum
> wahrscheinlich nicht [mm]f = T_1 \circ T_2 \circ g[/mm] bzw [mm]f = g \circ T_1 \circ T_2[/mm]
> gemeint ist).
>
> Um eine Idee für [mm]T_1[/mm] und [mm]T_2[/mm] zu bekommen, wurde dir ja
> schon der Tipp der quadratischen Ergänzung gegeben.
> Mach das doch mal!
So ich hab mir die ganzen Sachen jetzt nochmal angeschaut, komme aber immernoch nicht weiter. Ich weiß jetzt nicht ob ich einfach nur richtig auf dem Schlauch stehe, oder einfach nur zu blöd dafür bin.
Eine ähnliche Beispielaufgabe mit Lösung und erklärtem Lösungsweg würde mir dabei wohl richtig weiterhelfen können, allerdings habe ich jetzt nichts finden können und am Freitag steht bereits meine Klausur an.
Wäre es möglich dass mir meine Aufgabe schrittweise erklärt wird? Mein Textbuch hilft mir da wirklich null weiter. Da wird lediglich erklärt was eine Komposition ist. Beispiele gibt es dort (genau dort wo ich es brauchen würde) leider nicht.
Kann mir da geholfen werden?
mfg Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mi 13.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Etwas schlichter formuliert: Zeige, dass sich g auf f verschieben lässt.
Wie verschiebt man eine Funktion in y-Richtung?
Also f(x) ist gegeben, nun soll einen neue Funktion entstehen, deren Graph f(x) entspricht, nur um zum Beispiel 7 nach in y-Richtung verschoben.
Wie verschiebt man eine Funktion in x-Richtung?
Also f(x) ist gegeben, nun soll einen neue Funktion entstehen, deren Graph f(x) entspricht, nur um zum Beispiel 7 nach in x-Richtung verschoben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 13.03.2013 | | Autor: | Marcel93 |
> Etwas schlichter formuliert: Zeige, dass sich g auf f
> verschieben lässt.
>
> Wie verschiebt man eine Funktion in y-Richtung?
> Also f(x) ist gegeben, nun soll einen neue Funktion
> entstehen, deren Graph f(x) entspricht, nur um zum Beispiel
> 7 nach in y-Richtung verschoben.
> Wie verschiebt man eine Funktion in x-Richtung?
> Also f(x) ist gegeben, nun soll einen neue Funktion
> entstehen, deren Graph f(x) entspricht, nur um zum Beispiel
> 7 nach in x-Richtung verschoben.
Okay, jetzt verstehe ich auch endlich was gefragt ist..
Wäre die Lösung zu meiner Aufgabe dann: f(x):= b [mm] \circ [/mm] g(x) [mm] \circ [/mm] a ??
mfg marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 13.03.2013 | | Autor: | chrisno |
> Wäre die Lösung zu meiner Aufgabe dann: f(x):= b [mm]\circ[/mm]
> g(x) [mm]\circ[/mm] a ??
$ f(x):= b [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] a(x)$
oder $f(x) := b(g(a(x)))$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 13.03.2013 | | Autor: | Marcel93 |
> > Wäre die Lösung zu meiner Aufgabe dann: f(x):= b [mm]\circ[/mm]
> > g(x) [mm]\circ[/mm] a ??
> [mm]f(x):= b \circ g \circ a(x)[/mm]
> oder [mm]f(x) := b(g(a(x)))[/mm]
>
Beides wäre richtig?
Okay, dann ist das wahrscheinlich soweit für mich klar. Was genau, hat das jetzt aber mit der Quadratischen Ergänzung zu tun? In die Richtung wurde ja überhaupt nichts gemacht?
Und wie löse ich jetzt b) ? Soll ich von dem Ergebnis von a) die Umkehrung bilden?
mfg Marcel
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Hallo,
> > > Wäre die Lösung zu meiner Aufgabe dann: f(x):= b [mm]\circ[/mm]
> > > g(x) [mm]\circ[/mm] a ??
> > [mm]f(x):= b \circ g \circ a(x)[/mm]
> > oder [mm]f(x) := b(g(a(x)))[/mm]
Ich weiß nicht genau, was chrisno damit gemeint hat.
Auf jeden Fall ist das noch NICHT die Lösung.
Schreibe mal:
$f(x) = [mm] x^2 [/mm] + a*x + b = (x + [mm] ...)^2 [/mm] + ...$
mit Hilfe der quadratischen Ergänzung!
Dann ist
$f(x) = [mm] T_2 \circ [/mm] g [mm] \circ T_1(x)$
[/mm]
mit [mm] $T_1(x) [/mm] = x + ...$
und [mm] $T_2(y) [/mm] = y + ...$
weißt du, was du für die Punkte einsetzen musst?
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Für b):
Aus a) kannst du ablesen, dass der Graph von f aus dem Graphen g entsteht, indem du ihn entlang der x-Achse um ... verschiebst (siehe [mm] $T_1$) [/mm] und entlang der y-Achse um ... (siehe [mm] $T_2$).
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Do 14.03.2013 | | Autor: | Marcel93 |
Ich weiß wirklich nicht wie das berechnet werden soll, das geht einfach nicht bei mir rein. Hab gestern Abend auch mit meinen Studienkollegen diskutiert und zusammen sind wir auf zu folgendem Ergebnis gekommen:
(b [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] a)(x)
Wir gehen davon aus, dass [mm] \bruch{a}{2} [/mm] die Wurzel aus b entspricht.
Dann hätten wir [mm] (\wurzel{b} \circ [/mm] g [mm] \circ \bruch{a}{2})(x)
[/mm]
und zum Schluss schließlich (g [mm] \circ \bruch{a}{2})(x)=(x+\bruch{a}{2})^2
[/mm]
Ob das wirklich korrekt ist, wissen wir nicht. Wir konnten aber irgendwie darauf Schlussfolgern.
Ich habe echt meine Zweifel an der Lösung, und für das richtige verstehen dieser Aufgabe habe ich jetzt nicht mehr all zu lange Zeit, da wir morgen die Klausur schreiben. Aus diesem Grund würde ich es sehr gut finden, wenn mir hier jemand einfach die Lösung für die gesamte Aufgabe hinschreiben könnte. Vielleicht werde ich daraus noch schlau oder kann anhand dessen morgen ein wenig davon übernehmen und improvisieren...
mfg Marcel
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Hallo,
> Ich weiß wirklich nicht wie das berechnet werden soll, das
> geht einfach nicht bei mir rein. Hab gestern Abend auch mit
> meinen Studienkollegen diskutiert und zusammen sind wir auf
> zu folgendem Ergebnis gekommen:
> (b [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] a)(x)
> Wir gehen davon aus, dass [mm]\bruch{a}{2}[/mm] die Wurzel aus b
> entspricht.
> Dann hätten wir [mm](\wurzel{b} \circ[/mm] g [mm]\circ \bruch{a}{2})(x)[/mm]
>
> und zum Schluss schließlich (g [mm]\circ \bruch{a}{2})(x)=(x+\bruch{a}{2})^2[/mm]
Das sieht noch nicht richtig aus.
Besonders das [mm]\sqrt{b}[/mm] hat da gar nichts zu suchen!
a)
Es ist [mm]f(x) = x^2 + a*x + b = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{a^2}{4}\right)[/mm].
Mit
[mm]g(x) = x^2[/mm],
[mm]T_1(x) = x + \frac{a}{2}[/mm]
[mm]T_2(y) = y + \left(b - \frac{a^2}{4}\right)[/mm]
gilt:
[mm]f(x) = T_2 \circ g \circ T_1(x)[/mm].
----
b)
Der Graph von f ist eine Parabel (siehe Fkt. g), die allerdings um [mm]\frac{a}{2}[/mm] "nach links" entlang der x-Achse verschoben ist (siehe [mm]T_1[/mm]), und um [mm]\left(b - \frac{a^2}{4}\right)[/mm] "nach oben" entlang der y-Achse (siehe [mm]T_2[/mm]).
---
c) Entsprechend b) ist der tiefste Punkt des Graphen von f:
[mm]\left(-\frac{a}{2}, b - \frac{a^2}{4} \right)[/mm].
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Do 14.03.2013 | | Autor: | Marcel93 |
> a)
> Es ist [mm]f(x) = x^2 + a*x + b = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{a^2}{4}\right)[/mm].
>
> Mit
>
> [mm]g(x) = x^2[/mm],
> [mm]T_1(x) = x + \frac{a}{2}[/mm]
> [mm]T_2(y) = y + \left(b - \frac{a^2}{4}\right)[/mm]
>
> gilt:
>
> [mm]f(x) = T_2 \circ g \circ T_1(x)[/mm].
>
> ----
>
> b)
> Der Graph von f ist eine Parabel (siehe Fkt. g), die
> allerdings um [mm]\frac{a}{2}[/mm] "nach links" entlang der x-Achse
> verschoben ist (siehe [mm]T_1[/mm]), und um [mm]\left(b - \frac{a^2}{4}\right)[/mm]
> "nach oben" entlang der y-Achse (siehe [mm]T_2[/mm]).
>
> ---
>
> c) Entsprechend b) ist der tiefste Punkt des Graphen von
> f:
>
> [mm]\left(-\frac{a}{2}, b - \frac{a^2}{4} \right)[/mm].
Alles klar, vielen Dank :) Ich hab mir das jetzt alles so aufgeschrieben und bin damit hoffentlich für meine Klausur gewappnet. Alle anderen Themen kann ich ja bereits.
Nochmal meinen herzlichsten Dank ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Do 14.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Das war ja nur die Korrektur eines kleinen Fehlers. Mir fehlt für weitere Antworten die Darstellung der Verschiebungen. Wie wird $f(x) = [mm] 2x^2$ [/mm] um 7 nach "oben" verschoben? Das ist wirklich nicht schwer.
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