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| Aufgabe | | Gilt für beliebige Selbstabbildungen f und g einer Menge A stets f*g= g*f ? |
Was ich mich schon die ganze Zeit frage: Kann es sein, dass Selbstabbildungen nicht bijektiv sind? Wenn ja, ein Beispiel?
Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige Aufgabenstellung? ;)
Das wäre nett!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gilt für beliebige Selbstabbildungen f und g einer Menge A
> stets f*g= g*f ?
> Was ich mich schon die ganze Zeit frage: Kann es sein,
> dass Selbstabbildungen nicht bijektiv sind?
Natürlich.
> Wenn ja, ein
> Beispiel?
[mm] A=\IR, f(x)=x^2, [/mm] f ist weder injektiv noch surjektiv
> Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige
> Aufgabenstellung? ;)
Was ist mit f*g genau gemeint ? Ich vermute die Komposition (Verkettung) von Funktionen, also $f [mm] \circ [/mm] g$.
Nimm wieder [mm] A=\IR f(x)=x^2 [/mm] und g(x)=sin(x)
Was ist $f [mm] \circ [/mm] g$ ?
Was ist $g [mm] \circ [/mm] f$ ?
FRED
> Das wäre nett!
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> > Gilt für beliebige Selbstabbildungen f und g einer Menge A
> > stets f*g= g*f ?
> > Was ich mich schon die ganze Zeit frage: Kann es sein,
> > dass Selbstabbildungen nicht bijektiv sind?
>
> Natürlich.
Ich habe glaube ich die ganze Zeit Selbstabbildungen mit identischen Abbildungen verwechselt.
>
> > Wenn ja, ein
> > Beispiel?
>
> [mm]A=\IR, f(x)=x^2,[/mm] f ist weder injektiv noch surjektiv
>
Das heisst, bei einer Selbstabbildung ist es nur wichtig, das die Zielmenge in der Definitionsmenge liegt? Also wenn die Definitionsmenge [mm] \IR [/mm] ist, muss die Zielmenge auch in [mm] \IR [/mm] liegen?
>
> > Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige
> > Aufgabenstellung? ;)
>
> Was ist mit f*g genau gemeint ? Ich vermute die
> Komposition (Verkettung) von Funktionen, also [mm]f \circ g[/mm].
>
> Nimm wieder [mm]A=\IR f(x)=x^2[/mm] und g(x)=sin(x)
>
> Was ist [mm]f \circ g[/mm] ?
[mm] sin^2(x)
[/mm]
>
> Was ist [mm]g \circ f[/mm] ?
>
[mm] sin(x^2)
[/mm]
also somit nicht das gleiche ?!
> FRED
> > Das wäre nett!
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Gilt für beliebige Selbstabbildungen f und g einer Menge A
> > > stets f*g= g*f ?
> > > Was ich mich schon die ganze Zeit frage: Kann es
> sein,
> > > dass Selbstabbildungen nicht bijektiv sind?
> >
> > Natürlich.
> Ich habe glaube ich die ganze Zeit Selbstabbildungen mit
> identischen Abbildungen verwechselt.
> >
> > > Wenn ja, ein
> > > Beispiel?
> >
> > [mm]A=\IR, f(x)=x^2,[/mm] f ist weder injektiv noch surjektiv
> >
> Das heisst, bei einer Selbstabbildung ist es nur wichtig,
> das die Zielmenge in der Definitionsmenge liegt?
Eine Selbstabbildung einer Menge A ist eine Abbildung f:A [mm] \to [/mm] A, also
Def.-Menge = Zielmenge
> Also wenn
> die Definitionsmenge [mm]\IR[/mm] ist, muss die Zielmenge auch in
> [mm]\IR[/mm] liegen?
> >
> > > Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige
> > > Aufgabenstellung? ;)
> >
> > Was ist mit f*g genau gemeint ? Ich vermute die
> > Komposition (Verkettung) von Funktionen, also [mm]f \circ g[/mm].
>
> >
> > Nimm wieder [mm]A=\IR f(x)=x^2[/mm] und g(x)=sin(x)
> >
> > Was ist [mm]f \circ g[/mm] ?
> [mm]sin^2(x)[/mm]
ja
> >
> > Was ist [mm]g \circ f[/mm] ?
> >
> [mm]sin(x^2)[/mm]
Ja
> also somit nicht das gleiche ?!
Ja
FRED
> > FRED
> > > Das wäre nett!
> >
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> > > > Wenn ja, ein
> > > > Beispiel?
> > >
> > > [mm]A=\IR, f(x)=x^2,[/mm] f ist weder injektiv noch surjektiv
> > >
> > Das heisst, bei einer Selbstabbildung ist es nur wichtig,
> > das die Zielmenge in der Definitionsmenge liegt?
>
> Eine Selbstabbildung einer Menge A ist eine Abbildung f:A
> [mm]\to[/mm] A, also
>
> Def.-Menge = Zielmenge
Dann verstehe ich aber dein Beispiel nicht. Wir bilden vom [mm] \IR [/mm] mit der Funktionsvorschrift [mm] x^2 [/mm] ab, aber die Zielmenge die wir erreichen, ist dann doch nur [mm] \IR \ge0 [/mm] also nicht Definitionsmenge=Zielmenge sondern Zielmenge nur Teil der Definitionsmenge, oder?
>
>
> > Also wenn
> > die Definitionsmenge [mm]\IR[/mm] ist, muss die Zielmenge auch in
> > [mm]\IR[/mm] liegen?
> > >
> > > > Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige
> > > > Aufgabenstellung? ;)
> > >
> > > Was ist mit f*g genau gemeint ? Ich vermute die
> > > Komposition (Verkettung) von Funktionen, also [mm]f \circ g[/mm].
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> > >
> > > Nimm wieder [mm]A=\IR f(x)=x^2[/mm] und g(x)=sin(x)
> > >
> > > Was ist [mm]f \circ g[/mm] ?
> > [mm]sin^2(x)[/mm]
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> ja
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> > > Was ist [mm]g \circ f[/mm] ?
> > >
> > [mm]sin(x^2)[/mm]
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> Ja
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> > also somit nicht das gleiche ?!
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> Ja
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> FRED
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> > > FRED
> > > > Das wäre nett!
> > >
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Hallo,
> Dann verstehe ich aber dein Beispiel nicht. Wir bilden vom
> [mm]\IR[/mm] mit der Funktionsvorschrift [mm]x^2[/mm] ab, aber die Zielmenge
> die wir erreichen, ist dann doch nur [mm]\IR \ge0[/mm] also nicht
> Definitionsmenge=Zielmenge sondern Zielmenge nur Teil der
> Definitionsmenge, oder?
Du verwechselt zwei elementare Dinge: die Zielmenge, oft auch Wertemenge genannt mit der Bildmenge, in der Schule oft als Wertebereich bezeichnet.
In FRED's Beispiel ist die Bildmenge [mm] \IR_{0}^{+}, [/mm] die Zielmenge hat er ja gerade, um ein Gegenbeispiel zu haben, mit [mm] \IR [/mm] festgelegt!
Gruß, Diophant
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aaaah danke, mir geht ein Licht auf =) Vielen dank euch beiden!
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