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| Aufgabe | Sei $M [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}, [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}, [/mm] mit [mm] $\;\;$ [/mm] $M = [mm] \frac{1}{h}$ [/mm] tridiag(1,4,1)$ für $h [mm] \neq [/mm] 0$.
Zeigen Sie, dass [mm] cond_{\infty}(M) \le [/mm] 3$ unabhängig von der Dimension $n$ der Matrix $M$ ist.
Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung $M = [mm] \frac{4}{h} [/mm] (1 + N) $ und betrachten Sie die Neumann'sche Reihe $(1 + [mm] N)^{-1} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k = 0}^{\infty} [/mm] (- [mm] N)^{k}$ [/mm] um [mm] $\vert \vert M^{-1} \vert \vert_{\infty}$ [/mm] abzuschätzen. |
Guten Morgen!
Ich hänge seit mindestens 3 Stunden an dieser Aufgabe und komme überhaupt nicht weiter.
Mir ist zum Beispiel auch nicht klar, wie man sich tridiag(1,4,1) vorstellen muss. Wie sieht die Matrix denn aus?
Wir haben Cond(M) außerdem definiert durch $Cond(M) = [mm] \vert \vert \vert [/mm] M [mm] \vert \vert \vert \cdot \vert \vert \vert M^{-1} \vert \vert \vert [/mm] $
Und $ [mm] \vert \vert \vert [/mm] M [mm] \vert \vert \vert$ [/mm] ist die natürliche Matrixnorm $ [mm] \vert \vert \vert [/mm] M [mm] \vert \vert \vert [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n} } \frac{\vert \vert Ax \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert}$
[/mm]
Was heißt denn tridiag(1,4,1) ? Wie soll ich mir diese Matrix denn vorstellen?
Zu dieser Aufgabe fällt mir einfach kein Ansatz dazu ein. Ich weiß nicht, wie ich den Hinweis mit ins Spiel einbringen muss.
Kann mir jemand helfen und mir dazu evtl. einen Ansatz geben?
Bin für jede Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:59 Fr 25.10.2019 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]M \in \mathbb{R}^{n \times n}, n \in \mathbb{N}, mit[/mm][mm] \;\;[/mm]
> [mm][/mm]M = [mm]\frac{1}{h}[/mm] [mm]tridiag(1,4,1)[/mm] für [mm]h \neq 0[/mm].
>
> Zeigen Sie, dass [mm]cond_{\infty}(M) \le[/mm] 3$ unabhängig von
> der Dimension $n$ der Matrix $M$ ist.
>
>
> Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung [mm]M = \frac{4}{h} (1 + N)[/mm]
> und betrachten Sie die Neumann'sche Reihe [mm](1 + N)^{-1} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (- N)^{k}[/mm]
> um [mm]\vert \vert M^{-1} \vert \vert_{\infty}[/mm] abzuschätzen.
> Guten Morgen!
>
> Ich hänge seit mindestens 3 Stunden an dieser Aufgabe und
> komme überhaupt nicht weiter.
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> Mir ist zum Beispiel auch nicht klar, wie man sich
> tridiag(1,4,1) vorstellen muss. Wie sieht die Matrix denn
> aus?
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> Wir haben Cond(M) außerdem definiert durch [mm]Cond(M) = \vert \vert \vert M \vert \vert \vert \cdot \vert \vert \vert M^{-1} \vert \vert \vert [/mm]
>
> Und [mm]\vert \vert \vert M \vert \vert \vert[/mm] ist die
> natürliche Matrixnorm [mm]\vert \vert \vert M \vert \vert \vert = sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n} } \frac{\vert \vert Ax \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert}[/mm]
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> Was heißt denn tridiag(1,4,1) ? Wie soll ich mir diese
> Matrix denn vorstellen?
Auf der Hauptdiagonale stehen nur Vieren, auf den beiden Nebendiagonalen nur Einsen und sonst nur Nullen.
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> Zu dieser Aufgabe fällt mir einfach kein Ansatz dazu ein.
> Ich weiß nicht, wie ich den Hinweis mit ins Spiel
> einbringen muss.
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> Kann mir jemand helfen und mir dazu evtl. einen Ansatz
> geben?
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> Bin für jede Hilfe dankbar!
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Hiho,
ich vermute mal, du meinst mit [mm] $\text{cond}_{\infty}(M)$ [/mm] die Kondition bezüglich der Norm [mm] $||\cdot||_\infty$.
[/mm]
Dann stimmt die Aussage aber nicht, wie man sich leicht überlegen kann:
Es ist [mm] $\text{cond}(M) [/mm] = [mm] ||M||\cdot||M^{-1}|| [/mm] = [mm] \frac{\max\limits_{||x|| = 1} ||Mx||}{\min\limits_{||x|| = 1} ||Mx||} [/mm] $.
Das überlegt man sich eben schnell (folgt aus der Definition der Matrixnorm) oder schlägt es ![[]](/images/popup.gif) hier oder hier nach.
Nun sieht man schnell, dass [mm] $\max_{||x||_\infty = 1} ||Mx||_\infty [/mm] = 1+4+1 = 6$ sowie [mm] $\min_{||x||_\infty = 1} ||Mx||_\infty \le [/mm] 1$.
Damit folgt insbesondere: [mm] $\text{cond}_{\infty}(M) [/mm] = [mm] \frac{\max\limits_{||x||_\infty = 1} ||Mx||_\infty}{\min\limits_{||x||_\infty = 1} ||Mx||_\infty} \ge \frac{6}{1} [/mm] = 6$ im Widerspruch zur Aufgabenstellung.
Gruß,
Gono
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