Konfidenzintervall/ Normalvert < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Sa 11.12.2021 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | <br>
In einem Callcenter wurden die Dauern von 2000 Telefonaten erfasst. Der Mittelwert aller Gespäche betrug 140 Sekunden, die Standardabweichung 45 Sekunden. Gehen Sie von einer Normalverteilung aus.
a) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für die (tatsächliche) mittlere Gesprächsdauer zum Niveau 95,45%.
b) Können Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7% sicherstellen, dass die (tatsächliche) durchschnittliche Wartezeit höchstens 142 Sekunden beträgt? |
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Hallo, ich denke a) gelöst zu haben und würde mich über eine Kontrolle freuen:
Habe ein symmetrisches Intervall mit Mittelwert 140 angenommen und wegen 95,45% den Wert z=2 gewählt. Wegen der Stichprobengröße habe ich mit [mm] \wurzel(2000) [/mm] gerechnet.
[mm] [140-2*45/\wurzel{2000} [/mm] ; [mm] 140+2*45/\wurzel{2000}]
[/mm]
Damit wäre mein Konfidenzintervall [137,99 ; 142,01]. Ist das richtig?
Bei b) bin ich unsicher, von welchem Erwartungswert ich ausgehen soll: 140 Sekunden oder eine der Grenzen des Konfindenzintervalls?
Wegen "höchstens" ist b) dann ja einseitig und wegen 99,7% würde ich z=2,75 wählen.
Bin hier für jeden Hinweis dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Sa 11.12.2021 | | Autor: | Infinit |
Hallo MasterEd,
die Aufgabe a) bist Du richtig angegangen, und ich komme auch auf den selben z-Wert wie Du. Bei der b) wäre das Vertrauensinervall für den unbekannten Mittelwert einseitig nach oben beschränkt und dann ist auch Dein z-Wert okay. Damit haben wir den z-Wert, die Standardabweichung ist auch bekannt, also bleibt doch nur noch die Aufgabe zu lösen, wie groß die Anzahl der Stichproben sein muss, damit die Abweichung vom Mittelwert nach oben 2 beträgt, dann liegen wir nämlich im gewünschten Vertrauensintervall.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 So 12.12.2021 | | Autor: | MasterEd |
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Hallo Infinit und vielen Dank für die schnelle Antwort.
Hinweis zu b) da muss es natürlich "Gesprächsdauer" und nicht "Wartezeit" heißen, anscheinend hat der Prof ne alte Aufgabe kopiert und nicht alle Worte geändert ;)
Danke für die Kontrolle von a).
Bei b) hast du geschrieben wir müssen wissen, wie groß die Stichprobenanzahl sein muss... Das wissen wir doch laut Aufgabe schon (2000 Telefonate) - oder verstehe ich da was falsch?
Zur Bestimmung eines Vertrauensintervalls für den unbekannten Mittelwert habe ich folgende Formel gefunden:
[mm] \bar{x}-z\cdot\sigma/\wurzel{n}\leq \mu\leq\bar{x}+z\cdot\sigma/\wurzel{n}
[/mm]
Dabei steht [mm] \bar{x} [/mm] für den Stichprobenmittelwert. Aber das wäre doch genau die gleiche Rechnung, die ich in a) gemacht habe - nur mit weggelassener Untergrenze und z=2,75 statt z=2 oder?
Dann hätte ich [mm] \mu\leq\bar{x}+z\cdot\sigma/\wurzel{n}\leq 140+2,75*45/\wurzel{2000}=142,78
[/mm]
Ist das richtig und falls ja: was sagt mir diese Zahl?
Vielen Dank nochmals fürs Helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 So 12.12.2021 | | Autor: | Infinit |
Hallo MasterEd,
nach dem Lesen Deiner Antwort habe ich das Gefühl, dass ich da etwas zuviel in den Begriff des "Sicherstellens" reininterpretiert habe. Die von Dir angewandte Formel ist okay, der z-Wert ist größer als bei der a), also könnte die Anzahl der Stichproben etwas kleiner sein und trotzdem wäre das Testniveau erfüllt.
Ich gebe Dir aber gerne recht, Deine Antwort zu b) kann einfach lauten "ja", denn Du hast durch die Rechnung ja gezeigt, dass der Wert von 142 im Vertrauensintervall liegt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 12.12.2021 | | Autor: | MasterEd |
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Hallo Infinit und vielen Dank nochmals. Also weil der gefragte Wert 142 im berechneten Intervall [mm] [-\infty [/mm] ; 142,78] bzw. [0 ; 142,78] liegt, kann man (mit der vorgegebenen Sicherheit von 99,7%) sagen, dass die tatsächliche durchschnittliche Gesprächsdauer höchstens 142 Sekunden beträgt?
Und ohne weitere Rechnung könnte man das auch für alle anderen Zahlen im Intervall sagen? Es wäre genau so richtig zu behaupten, dass die Dauer höchstens 75 oder 100 oder 142,33 Sekunden beträgt, solange man die Grenze bei 142,78 nicht überschreitet?
Nur noch mal fürs Verständnis nachgefragt! Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 12.12.2021 | | Autor: | Infinit |
Hallo MasterEd,
da habe ich mich unglücklich ausgedrückt, wie ich zugeben muss. Das Ergebnis ist zwar richtig, aber ich versuche hier mal den Entscheidungsweg zu beschreiben. Die Differenz zwischen dem angenommenen Mittelwert und dem durch die Stichprobe ermittelten Wert spielt hier schon eine Rolle. Ich nehme hier mal die Nomenklatur, wie ich sie noch aus alten Tagen kenne, eventuell sieht dies bei Dir etwas anders aus.
Also, wir haben hier eine Hypothese, dass der wahre Mittelwert, den wir aber nicht kennen, kleiner ist als 142 sec. Diese Hypothese ist zu überprüfen anhand der Stichprobendaten. Hierzu rechne ich erst mal eine Kenngröße aus, in der die Differenz zwischen dem Hypothesenwert und dem Stichprobenmittelwert einfließt. In meinem alten Sktipt ist diese Größe als u bezeichnet und berechnet sich zu
[mm] u = \frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\wurzel{n}}}=\frac{140-142}{\frac{45}{\wurzel{2000}}}=-1,987 [/mm]
Dies ist der eine Kennwert, der andere wird anhand der gewünschten Zutreffenswahrscheinlichkeit aus der Tabelle der normeirten Normalverteilung abgelesen und da haben wir dann den bereits mehrfach zitierten Wert von [mm] u_{0,997}=2,75. [/mm]
Dies beiden Werte muss man jetzt miteinander vergleichen und man wird die Hypothese, dass der wahre Mittelwert kleiner ist als 142 dann ablehnen, wenn gilt:
[mm] u < -u_{0,997} [/mm]
Das stimmt aber nicht, wie man sieht und insofern kann man der Aussage zustimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 So 12.12.2021 | | Autor: | MasterEd |
Hallo und vielen vielen Dank nochmals für die ausführliche Erklärung und die sicher damit verbundene Mühe. Viele Grüße und eine schöne Vorweihnachtszeit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Sa 11.12.2021 | | Autor: | Lorenzo786 |
Also erst dache ich , ich könnte dir helfen, aber das übersteigt dann doch mein Wissen. sorry, hoffe, dass du schnell ne Antwort bekommst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 So 12.12.2021 | | Autor: | Infinit |
Hallo Lorenzo,
diese Antwort hat MasterEd bereits 8 Stunden vor Deinem Beitrag von mir bekommen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 So 12.12.2021 | | Autor: | fred97 |
> Also erst dache ich , ich könnte dir helfen, aber das
> übersteigt dann doch mein Wissen. sorry, hoffe, dass du
> schnell ne Antwort bekommst.
Das ist doch keine Antwort auf die gestellte Frage. Wenn Du unbedingt mitteilen musst, dass Du die Frage nicht beantworten kannst, so mach das in einem Kommentar.
Gruß Fred
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