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| Aufgabe | Bestimmen Sie das $x [mm] \in \IZ$ [/mm] mit 10000 <= (kleiner gleich) x < 10633 und
$ x [mm] \equiv [/mm] 23 $ mod 633 |
Hallo, ich habe laut wolfram das Ergebnis von 10151 raus.
aber wie kommt man auf das Ergebnis?
bei einer ähnlichen Aufgabe war es
$ x [mm] \equiv [/mm] 33 $ mod 101 und x zwischen 100 und 201.
da war es leichter durch ausprobieren bin ich auf 134 gekommen denn 134 ist kongruent 33 mod 101.
wie mache ich es aber bei großen zahlen so dass 10151 raus kommt?
$ x [mm] \equiv [/mm] 23 $ mod 633
LG
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Hiho,
glücklicherweise gilt ja:
$(a+b) [mm] \mod [/mm] c = [mm] \left((a \mod c) + (b \mod c)\right)\mod [/mm] c$
ist dir das klar?
D.h. aber eben auch, dass man beliebig ganzzahlige Vielfache zu Zahlen dazuaddieren kann und sich am [mm] \mod [/mm] - Wert nichts ändert.
Wie geht man nun am besten vor: Du erkennst:
Nun gilt: $10000 [mm] \mod [/mm] 633 = 505 [mm] \mod [/mm] 633$
Du willst ja auf $23 [mm] \mod [/mm] 633$ kommen. Wären wir [mm] $\mod [/mm] 633$ kleiner als 23, würden wir einfach die Differenz nehmen, da wir aber bereits größer als 23 sind, müssen wir modulo gerechnet erstmal wieder auf Null kommen.
Es gilt ja: $0 [mm] \mod [/mm] 633 = 633 [mm] \mod [/mm] 633$, und es gilt: 633 - 505 = 128
D.h.: $10128 [mm] \mod [/mm] 633 = (10000 + 128) [mm] \mod [/mm] 633 = 505 [mm] \mod [/mm] 633 + 128 [mm] \mod633 [/mm] = 633 [mm] \mod [/mm] 633 = 0 [mm] \mod [/mm] 633$
Und analog erhalten wir:
$10151 [mm] \mod [/mm] 633 = (10128 + 23) [mm] \mod [/mm] 633 = 23 [mm] \mod [/mm] 633$
Prinzip verstanden? 
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mi 22.04.2015 | | Autor: | AragornII |
ich hoffe ja :) danke ansonsten melde ich mich nochmal
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Mi 22.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
ich würde es mit Modulo-Methoden so rechnen:
[mm] $10\,000 \equiv [/mm] 10 [mm] \cdot [/mm] 1000 [mm] \equiv [/mm] 10 [mm] \cdot [/mm] (1000-633)=10*367 = 3670 [mm] \equiv [/mm] 3670-5*633=505 [mm] \mod 633\,.$
[/mm]
[Edit: Gerade gesehen, dass vielleicht [mm] $10\,000=5*2\,000$ [/mm] hier noch besser verwendbar
ist: [mm] $10\,000=5\,*2\,000 \equiv [/mm] 5 [mm] \cdot (2\,000-3*633)=5*101=505 \mod 633\,.$]
[/mm]
Also ist
[mm] $10\,128=10\,000+(633-505)\equiv [/mm] 505+128=633 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod 633\,.$
[/mm]
Kann man die erste Zeile [mm] ($\ldots [/mm] = 505 [mm] \mod [/mm] 633$ ) eigentlich irgendwie schneller
rechnen? Vielleicht [mm] $633=3*211\,$ [/mm] ausnutzen?
Ich bin jetzt auch gerade nicht mehr ganz so fit im Modulo-Rechnen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 22.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie das [mm]x \in \IZ[/mm] mit 10000 <= (kleiner gleich) x
> < 10633 und
> [mm]x \equiv 23[/mm] mod 633
ich formuliere die Aufgabe mal etwas um: Es soll (das einzige!) $x [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
[mm] $10\,000 \le [/mm] x < [mm] 10\,633$ [/mm] und $x [mm] \equiv [/mm] 23 [mm] \mod [/mm] 633$
gefunden werden.
D.h.
[mm] $10\,000 \le [/mm] x < [mm] 10\,633$ [/mm] und es gibt ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $x=k*633+23\,.$
[/mm]
Ist Dir klar, dass
$k [mm] \,=\, \lfloor \frac{10\,633-23}{633}\rfloor$
[/mm]
sein wird?
Damit folgt $x=k*633+23=16*633+23=...$
P.S. Tipp:
[mm] $10\,000 \le [/mm] x=k*633+23 < 10633$
[mm] $\iff$ $\frac{10\,000-23}{633} \le [/mm] k< [mm] \frac{10\,633-23}{633}=\frac{10\,000-23}{633}+1$
[/mm]
P.P.S. Man kann die Aufgabe auch angehen, indem man sagt: Sei [mm] $x=k_0*633+23$
[/mm]
wobei [mm] $k_0$ [/mm] das kleinste ganzzahlige [mm] $k\,$ [/mm] mit
$k*633+23 [mm] \ge 10\,000$
[/mm]
ist!
Gruß,
Marcel
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