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Kongruenzen: Aufgabe mit Lösungsvorschlag

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:39 So 30.08.2009
Autor:	hilado

Aufgabe

 Man beweise jede der folgenden Behauptungen:

(a) Aus a [mm] \equiv [/mm] b (mod n) und m | n folgt a [mm] \equiv [/mm] b (mod m).

(b) Aus a [mm] \equiv [/mm] b (mod n) und c > 0 folgt ca [mm] \equiv [/mm] cb (mod cn).

(c) Gilt a [mm] \equiv [/mm] b (mod n) und sind die Zahlen a, b [mm] \in [/mm] Z, n [mm] \in [/mm] N alle durch d > 0 teilbar, so ist a/d [mm] \equiv [/mm] b/d (mod n/d).

Mein Lösungsvorschlag zu
(a)
a = b + k * n
n = l * m (für ein l [mm] \in [/mm] N, da ja teilbar) =>
a = b + k * l * m

=> a [mm] \equiv [/mm] b (mod m)

(b)
es ist
a = b + k * n |hier wird um c erweitert
c * a = c * b + c * k * n =>
c*a = c*b (mod c*n)

(c)
[mm] \bruch{a}{d} [/mm] = [mm] a_{1} \in [/mm] Z
[mm] \bruch{b}{d} [/mm] = [mm] b_{1} \in [/mm] Z
[mm] \bruch{n}{d} [/mm] = [mm] n_{1} \in [/mm] N

a= b + k * n |wir teilen durch d und übernehmen die brüche von oben
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + k * [mm] n_{1} \gdw [/mm]
[mm] \bruch{a}{d} [/mm] = [mm] \bruch{b}{d} [/mm] + k * {n}{d} =>

[mm] \bruch{a}{d} \equiv \bruch{b}{d} [/mm] (mod [mm] \bruch{n}{d}) [/mm]

Bezug

Kongruenzen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:52 So 30.08.2009
Autor:	felixf

Hallo!

> Man beweise jede der folgenden Behauptungen:
>  (a) Aus a [mm]\equiv[/mm] b (mod n) und m | n folgt a [mm]\equiv[/mm] b (mod
> m).
>  (b) Aus a [mm]\equiv[/mm] b (mod n) und c > 0 folgt ca [mm]\equiv[/mm] cb

> (mod cn).
>  (c) Gilt a [mm]\equiv[/mm] b (mod n) und sind die Zahlen a, b [mm]\in[/mm]
> Z, n [mm]\in[/mm] N alle durch d > 0 teilbar, so ist a/d [mm]\equiv[/mm] b/d
> (mod n/d).

>
>  Mein Lösungsvorschlag zu
>  (a)
>  a = b + k * n
>  n = l * m (für ein l [mm]\in[/mm] N, da ja teilbar) =>
>  a = b + k * l * m
>
> => a [mm]\equiv[/mm] b (mod m)

> (b)
>  es ist
>  a = b + k * n   |hier wird um c erweitert
>  c * a = c * b + c * k * n =>
>  c*a = c*b (mod c*n)

> (c)
>  [mm]\bruch{a}{d}[/mm] = [mm]a_{1} \in[/mm] Z
>  [mm]\bruch{b}{d}[/mm] = [mm]b_{1} \in[/mm] Z
>  [mm]\bruch{n}{d}[/mm] = [mm]n_{1} \in[/mm] N
>
> a= b + k * n |wir teilen durch d und übernehmen die
> brüche von oben
>  [mm]a_{1}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] + k * [mm]n_{1} \gdw[/mm]
>  [mm]\bruch{a}{d}[/mm] =
> [mm]\bruch{b}{d}[/mm] + k * [mm] \bruch{n}{d} [/mm] =>
>
> [mm]\bruch{a}{d} \equiv \bruch{b}{d}[/mm] (mod [mm]\bruch{n}{d})[/mm]