Kongruenzsystem in Z[i] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 So 16.09.2012 | | Autor: | wonda |
| Aufgabe | Gegeben ist im euklidischen Ring [mm] \IZ[i] [/mm] das System von Kongruenzen:
(*) x [mm] \equiv [/mm] -1+i mod 3-2i , x [mm] \equiv [/mm] 2-i mod 1+4i , x [mm] \equiv [/mm] 3+i mod 1+2i.
Zeigen sie, dass (*) lösbar ist und geben sie alle Lösungen x [mm] \in \IZ[i] [/mm] an. |
a) ist ganz einfach zu zeigen. Die Normfunktion auf (3-2i),(1+4i) und (1+2i) anwenden und erhält so die Werte: 13,17 und 5. Da der ggT(13,17,5)=1, sind diese teilerfremd und es ex. eine Lösung.
b) nun würde ich den chinesischen Restsatz anwenden.
[mm] u_{1} [/mm] = (1+4i)(1+2i) = -7+6i
[mm] u_{2} [/mm] = (3-2i)(1+2i) = 7+4i
[mm] u_{3} [/mm] = (1+4i)(3-2i) = 11+10i
Nun kann man schlussfolgern:
[mm] m_{1}u_{1} [/mm] = [mm] m_{1} [/mm] (-7+6i) [mm] \equiv [/mm] 1 mod (3-2i)
[mm] m_{2}u_{2} [/mm] = [mm] m_{2} [/mm] (7+4i) [mm] \equiv [/mm] 1 mod (1+4i)
[mm] m_{3}u_{3} [/mm] = [mm] m_{3} [/mm] (11+10i) [mm] \equiv [/mm] 1 mod (1+2i)
Nun weiß ich nicht, wie man die [mm] m_{i} [/mm] bestimmen soll. Wäre super, wenn mir einer einen Tipp/Hilfestellung geben würde.
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moin,
Du musst hier die Inversen der [mm] $u_i$ [/mm] ausrechnen.
Die Info in der Aufgabenstellung, dass [mm] $\IZ[i]$ [/mm] ein euklidischer Ring ist, dürfte dir dabei helfen.
Als Tipp noch: reduziere die [mm] $u_i$ [/mm] erstmal ein wenig, dann wird das Rechnen leichter.
Als weiterer Tipp mal ein etwas anderes Vorgehen:
$x [mm] \equiv [/mm] -1+i [mm] \mod [/mm] 3-2i [mm] \gdw [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 2-i [mm] \mod [/mm] 3-2i$
$x [mm] \equiv [/mm] 2-i [mm] \mod [/mm] 1+4i$
$x [mm] \equiv [/mm] 3+i [mm] \mod [/mm] 1+2i [mm] \gdw [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 2-i [mm] \mod [/mm] 1+2i$
Was weißt du über die Lösungen eines Systems der Form
$x [mm] \equiv [/mm] a [mm] \mod b_i$ [/mm] für ein festes $a$ und mehrere teilerfremde [mm] $b_i$?
[/mm]
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 16.09.2012 | | Autor: | wonda |
> moin,
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> Du musst hier die Inversen der [mm]u_i[/mm] ausrechnen.
das Inverse sollte einfach zu bestimmen sein. Also sollte [mm] m_{1} [/mm] = [mm] (\bruch{7}{65}- \bruch{4}{65}i)
[/mm]
> Die Info in der Aufgabenstellung, dass [mm] $\IZ[i]$ [/mm] ein euklidischer Ring ist, dürfte dir dabei helfen.
> Als Tipp noch: reduziere die [mm] $u_i$ [/mm] erstmal ein wenig, dann wird das Rechnen leichter.
Genau da liegt ein wenig mein Problem, wie rechne ich eine Zahl aus [mm] \IZ[i] [/mm] modulo?
> Als weiterer Tipp mal ein etwas anderes Vorgehen:
> $x [mm] \equiv [/mm] -1+i [mm] \mod [/mm] 3-2i [mm] \gdw [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 2-i [mm] \mod [/mm] 3-2i$
> $x [mm] \equiv [/mm] 2-i [mm] \mod [/mm] 1+4i$
> $x [mm] \equiv [/mm] 3+i [mm] \mod [/mm] 1+2i [mm] \gdw [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 2-i [mm] \mod [/mm] 1+2i$
> Was weißt du über die Lösungen eines Systems der Form
> $x [mm] \equiv [/mm] a [mm] \mod b_i$ [/mm] für ein festes $a$ und mehrere teilerfremde [mm] $b_i$? [/mm]
In der Vorlesung wurde der Chinesischer Restsatz nur knapp angeschnitten mit kurzem Beispiel, wobei alle [mm] x\in \IZ [/mm] waren, und natürlich der Beweis des Satzes. Also kenn ich nur den einfachen Ablauf des Satzes.
> lg
> Schadow
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> [mm][i] > Als Tipp noch: reduziere die [mm]u_i[/mm] erstmal ein wenig, dann [/i][/mm]
> [mm][i]wird das Rechnen leichter. [/i][/mm]
> [mm][i]Genau da liegt ein wenig mein Problem, wie rechne ich eine [/i][/mm]
> [mm][i]Zahl aus [mm]\IZ[i][/mm] modulo?[/i][/mm][/i][/mm]
Du kannst beliebige Vielfache draufaddieren.
Also zB:
$-7+6i [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] (3-2i)$, addiere $3*(3-2i)$ auf $-7+6i$ drauf.
edit:
Dein Inverses ist nicht in [mm] $\IZ[i]$!
[/mm]
Du musst schon wirklich das Inverse in [mm] $\IZ[i]$ [/mm] modulo der entsprechenden Zahl berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 So 16.09.2012 | | Autor: | wonda |
> > [mm][i]> Als Tipp noch: reduziere die [mm]u_i[/mm] erstmal ein wenig, dann[/i][/mm]
>
> > [mm][i]wird das Rechnen leichter.[/i][/mm]
>
> > [mm][i]Genau da liegt ein wenig mein Problem, wie rechne ich eine[/i][/mm]
>
> > [mm][i]Zahl aus [mm]\IZ[i][/mm] modulo?[/i][/mm][/i][/mm]
>
> Du kannst beliebige Vielfache draufaddieren.
> Also zB:
> [mm]-7+6i \equiv 2 \mod (3-2i)[/mm], addiere [mm]3*(3-2i)[/mm] auf [mm]-7+6i[/mm]
> drauf.
ok das hab ich verstanden.
> edit:
> Dein Inverses ist nicht in [mm]\IZ[i][/mm]![/i][/mm]
> [mm][i] Du musst schon wirklich das Inverse in [mm]\IZ[i][/mm] modulo der [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]entsprechenden Zahl berechnen. [/i][/mm][/i][/mm]
Ja hab ich dann auch gemerkt :(
Oh man ich stehe heute total auf dem Schlauch, wie kann ich den das Inverse berechnen? Habe mir spontan gedacht: (a+bi)(16-2i) = 1 mod (3-2i) [benutze schon die Vereinfachung]
jedoch lauf ich dann immer in eine Sackgasse, wenn ich ein Gleichungssystem dazu aufstelle. Gibt es da einen einfachen Trick?
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Wie berechnest du Inverse denn in Faktorringen über [mm] $\IZ$, [/mm] also als Beispiel etwa das Inverse von $753$ modulo $1024$?
Da [mm] $\IZ[i]$ [/mm] ein euklidischer Ring ist kannst du hier genauso vorgehen.
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