Konjugiert komplex erweitern, < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fse |
Hallo, ich will den Imaginärteil im Nenner wegbekommen
[mm] Y=\bruch{1}{R+i*\omega*L+\bruch{1}{i\omega*C}}+i \omega [/mm] C
Hab nun mal mit [mm] R-i*\omega*L+\bruch{1}{i\omega*C} [/mm] erweitert
Hilft mir das weiter? stimmt das so?
[mm] Y=\bruch{R-i*\omega*L+\bruch{1}{i*\omega*C}}{R^2+(\omega*L+\bruch{1}{i*\omega*CÄ})^2}+i *\omega [/mm] C
Aber wie bekomme ich nun das zweite i im Nenner weg (bzw. in den Zähler)?
Grüße fse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich will den Imaginärteil im Nenner wegbekommen
>
> [mm]Y=\bruch{1}{R+i*\omega*L+\bruch{1}{i\omega*C}}+i \omega[/mm] C
>
>
> Hab nun mal mit [mm]R-i*\omega*L+\bruch{1}{i\omega*C}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> erweitert
>
> Hilft mir das weiter? stimmt das so?
mach's lieber direkt so:
Aus ${i}^2=\;-\;1$ folgt
$$\frac{1}{i}=\;-\;i$$
(Du kannst das natürlich auch so
$$\frac{1}{i}=\frac{1*\overline{i}}{i*\overline{i}}=\frac{\overline{i}}{|i|^2}=\frac{\;-\;i}{1^2}=\;-\;i$$
rechnen - dabei ist $\overline{i}$ die zu $i\,$ konjugiert komplexe Zahl, also
$\overline{i}=\;-\;1\,.$)
Daher
$$Y=\bruch{1}{R+i*\omega*L+\bruch{1}{i\omega*C}}+i \omega C$$
$$\iff Y=\bruch{1}{R+i*\omega*L\;\red{-}\;\bruch{i}{\omega*C}}+i \omega C$$
$$\iff Y=\bruch{1}{R+i*\left(\omega*L\;\red{-}\;\bruch{1}{\omega*C}\right)}+i \omega C$$
Jetzt darfst/kannst Du mit dem konjugiert Komplexen des Nenners, also
$$R\;\,\red{-}\,\;i*\left(\omega*L\;-\;\bruch{1}{\omega*C}\right)$$
erweitern (sofern $\omega,\;L,\;R,\;C$ reell sind), und dann hast Du
einen Nenner, der rein reell ist...
P.S. Du musst halt bedenken, dass Du im Nenner nochmal einen Bruch
$$\bruch{1}{i\omega*C}}$$
hast, den Du auch wieder in die Form "Realteil + $i \;\cdot$ Imaginärteil"
bringen willst:
Du hättest also auch erst diesen Bruch in eine Form bringen können,
dessen Nenner rein reell ist. Ich mache das im Prinzip unter Verwendung
von
$$\frac{1}{i}=\;-\;i$$
genauso...
Gruß,
Marcel
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