Konjunktion mit wahrer Aussage < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 26.10.2007 | | Autor: | success |
Hi,
dumme Frage, aber mir sind Beweise von Aussagen über Relationen zwischen Mengen noch sehr fremd.
Ich möchte gerade zeigen, dass eine bestimmte Aussage eine weitere impliziert.
Jetzt hab ich meine erste Aussage umgeformt zu [...] [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A ).
Darf ich den rechten Teil einfach weglassen? Also ist [...] [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A ) <=> [...], wenn [...] eine logische Aussage ist?
Denn "(x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A )" ist immer erfüllt (oder?) und dementsprechend ist die [...] Aussage von dieser unabhängig, da die beiden durch "und" verknüpft sind. Seh ich das richtig?
Analog: Wie sieht es bei [...] [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge \in [/mm] A ) aus?
Eine Antwort würde mir sehr weiterhelfen. :)
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Hallo success!
> Ich möchte gerade zeigen, dass eine bestimmte Aussage eine
> weitere impliziert.
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> Jetzt hab ich meine erste Aussage umgeformt zu [...] [mm]\wedge[/mm]
> (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] A ).
> Darf ich den rechten Teil einfach weglassen? Also ist
> [...] [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] A ) <=> [...], wenn [...]
> eine logische Aussage ist?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau so ist es. Wir haben auch manchmal die Aussage [mm] $(x\in A\vee x\in [/mm] A)$ "umgeformt" zu 1, denn wie du ja sagst, ist diese Aussagen immer wahr. Und dann steht da [mm] $[...]\wedge [/mm] 1$, und dies ist offensichtlich genau dann wahr, wenn [...] wahr ist. 
>
> Denn "(x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] A )" ist immer erfüllt (oder?)
> und dementsprechend ist die [...] Aussage von dieser
> unabhängig, da die beiden durch "und" verknüpft sind. Seh
> ich das richtig?
>
> Analog: Wie sieht es bei [...] [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge \in[/mm] A )
> aus?
Sofern du hier ein x vergessen hast, ist dies noch "einfacher". Und zwar ist ja [mm] $(x\in A\wedge x\in [/mm] A)$ immer erfüllt, also eine wahre Aussage, also quasi 1. Und wenn da jetzt [mm] $[...]\vee [/mm] 1$ steht, ist dies auch eine wahre Aussage, denn es ist ja hier nur eine Oder-Verknüpfung, und die eine Seite ist ja schon wahr.
Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Fr 26.10.2007 | | Autor: | success |
Vielen Dank!
Du hast mir sehr geholfen. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:49 Mi 31.10.2007 | | Autor: | success |
Hi, ich hoffe es ist okay, wenn ich hier zu nochmal eine Frage stelle.
Mir sind gerade Zweifel aufgekommen.
x [mm] \in [/mm] A ist ja eine Aussage; eine Aussage ist per Definition entweder wahr oder falsch.
x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A ist immer wahr, denn entweder ist x [mm] \in [/mm] A oder es ist nicht [mm] \in [/mm] A, in beiden Fällen wird die Disjunktion beider Aussagen wahr.
Aber bei x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A bzw. x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge \x [/mm] in A sieht das schon ganz anders aus. Ist x wirklich [mm] \in [/mm] A, so sind die Aussagen wahr, ist dies nicht der Fall, so sind sie falsch. Wenn ich x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A via Konjunktion mit einer weiteren Aussage B verbinde, so ist das doch nicht das gleiche, wie nur B.
Oder hab ich dich falsch verstanden/irre mich?
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Hallo success,
du hast natürlich recht. Diese Aussage selbst kann wahr oder falsch sein, jenachdem ob [mm]x \in A[/mm] wahr oder falsch ist.
Allerdings kannst du das vereinfachen und zwar:
[mm](x \in A \vee x \in A) \gdw (x \in A)[/mm]
analog dazu
[mm](x \in A \wedge x \in A) \gdw (x \in A)[/mm]
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:06 Mi 31.10.2007 | | Autor: | success |
Sehr gut, danke!
Noch eine letzte Frage, dann sollte alles geklärt sein. :)
x [mm] \in [/mm] A v x [mm] \not\in [/mm] A ist immer wahr, ich kann es also weg lassen.
Jetzt hab ich hier aber eine Musterlösung in der
x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A
umgeformt wird zu
x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A.
Ist das nicht kompletter Unsinn?
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> x [mm]\in[/mm] A v x [mm]\not\in[/mm] A ist immer wahr, ich kann es also weg
> lassen.
Nein, das stimmt so nicht. Das hängt davon ab, womit das verbunden ist:
1.) In einer Oder-Verknüpfung kann eine falsche Aussage weggelassen werden, weil der Wahrheitswert dann nur von der zweiten Aussage abhängt.
2.) In einer Und-Verknüpfung kann eine wahre Aussage weggelassen werden, weil der Wahrheitswert dann nur von der zweiten Aussage abhängt.
Verdeutliche dir das am besten anhand der Wahrheitswertetabelle, es gilt ja:
[mm](a \vee \mbox{ falsch }) \gdw a[/mm]
Denn wenn a wahr ist, ist auch die linke Seite wahr, und wenn a falsch ist, ist auch die linke Seite falsch.
Bei und ist es genau andersherum, aber ich denke es dürfte nun klar sein, warum.
Nun zu deiner Umformung, hier musst du beachten, dass "und" stärker bindet als "oder", d.h.
[mm]x\in B \wedge x\in A \vee x\not\in A[/mm]
steht für
[mm](x\in B \wedge x\in A) \vee x\not\in A[/mm]
Dies kann man nun Umformen zu:
[mm](x\in B \vee x\not\in A) \wedge (x\in A \vee x\not\in A)[/mm]
Jetzt erkennst du, dass die letzte Aussage immer wahr ist, ergo steht da:
[mm](x\in B \vee x\not\in A) \wedge \mbox{ wahr }[/mm]
Nach dem vorherigen kann man bei einer "und"-Verknüpfung wahre Aussagen weg lassen, ergo bleibt stehen:
[mm](x\in B \vee x\not\in A)[/mm]
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Mi 31.10.2007 | | Autor: | success |
Danke für die ausführliche Erklärung! :)
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