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| Aufgabe | | Das regelmäßige n-Eck ist genau dann konstruierbar mit Zirkel und Lineal, wenn [mm] \phi(n) [/mm] = Eulersche [mm] \phi-Funktion [/mm] eine Zweierpotenz ist. |
Hallo!
Ich verstehe leider den Beweis, den wir hierfür im Skript haben nicht und ich denke, dass er schon recht wichtig ist!
" [mm] \Rightarrow [/mm] ": Vor.: Das regelmäßige n-Eck ist konstruierbar., zz.: [mm] \phi(n)=2^k [/mm] (k [mm] \in \IN)
[/mm]
Annahme: [mm] \phi(n) \not= 2^k [/mm] (k [mm] \in \IN)
[/mm]
Sei [mm] \alpha_n [/mm] eine n-te Einheitswurzel, dann gilt: [mm] [\IQ(\alpha_n) [/mm] : [mm] \IQ]= \phi(n), [/mm] da das Kreisteilungspolynom irreduzibel ist. ( <-- Also hier geben wir ein Gegenbeispiel an wodurch wir im folgenden zeigen, dass es nicht sein kann, dass [mm] \phi(n) \not= 2^k [/mm] (k [mm] \in \IN), [/mm] oder? Dann noch dazu, warum [mm] [\IQ(\alpha_n) : \IQ]= \phi(n) [/mm] gilt: Dies gilt, weil [mm] Gal(\IQ(\alpha_n) / \IQ) [/mm] isomorph zu [mm] (\IZ/n \IZ)^x [/mm] und [mm] \phi(n)=|(\IZ/n \IZ)^x| [/mm] und Gal(L/K)=[L:K] wenn L/K endlich ist, oder? )
Mit [mm] \phi(n) \not= 2^k [/mm] (k [mm] \in \IN) [/mm] kann [mm] \alpha_n [/mm] nicht konstruierbar sein, da eines der notwendigen Kriterien für Konstruierbarkeit einzer Zahl ist, dass ihr Grad über [mm] \IQ [/mm] eine Zweierpotenz ist. [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch zur Annahme
" [mm] \Leftarrow [/mm] ": Vor.: [mm] \phi(n) [/mm] = [mm] 2^k [/mm] (k [mm] \in \IN), [/mm] zz.: n ist konstruierbar
[mm] G= Gal(\IQ(\alpha_n) / \IQ) [/mm] ist 2-Gruppe, da [mm] Gal(\IQ(\alpha_n) / \IQ) [/mm] isomorph zu [mm] (\IZ/n \IZ)^x [/mm] eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung [mm] 2^k [/mm] ist (gleiche Erklärung wie oben)
Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte ablesche Gruppen existiert daher eine Kette von Normalteilern: [mm] G=G_r \supset G_{r-1} \supset [/mm] ... [mm] \supset G_0=1 [/mm] mit [mm] G_i/G_{i-1} [/mm] isomorph zu [mm] \IZ/2 \IZ [/mm] ( <-- Irgendwie hatte ich den Hauptsatz so verstanden, dass jede endliche abelsche Gruppe ein Produkt von zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung ist. Diese Verknüpfung verstehe ich noch nicht. Kann mir das jemand erklären?)
Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie erhält man einen Körperturm der Fixkörper von [mm] \IQ(\alpha_n): \IQ=K_r \subset [/mm] ... [mm] \subset K_0= \IQ(\alpha_n) [/mm] mit [mm] [K_{i-1} [/mm] : [mm] K_i]=|G_i/G_{i-1}|=2 [/mm] (<-- auch hier bin ich verwirrt von der Verwendung des Satzes!?)
Daher gilt: [mm] K_{i+1}=K_i(\sqrt(a_i)) [/mm] mit [mm] a_i \in K_i [/mm] (<-- Weil jede quadratische Körpererweiterung durch die Adjunktion einer Quadratwurzel entsteht, oder?)
Und damit ist [mm] \alpha_n [/mm] konstruierbar (<-- und das sagt uns, dass das n-Eck konstruierbar ist, weil die [mm] alpha_n [/mm] die Eckpunkte sind, oder?)
Kann mir jemand mit dem Verständnis helfen? Das wäre super!
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Sa 03.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Das regelmäßige n-Eck ist genau dann konstruierbar mit
> Zirkel und Lineal, wenn [mm]\phi(n)[/mm] = Eulersche [mm]\phi-Funktion[/mm]
> eine Zweierpotenz ist.
> Hallo!
>
> Ich verstehe leider den Beweis, den wir hierfür im Skript
> haben nicht und ich denke, dass er schon recht wichtig
> ist!
>
> " [mm]\Rightarrow[/mm] ": Vor.: Das regelmäßige n-Eck ist
> konstruierbar., zz.: [mm]\phi(n)=2^k[/mm] (k [mm]\in \IN)[/mm]
>
> Annahme: [mm]\phi(n) \not= 2^k[/mm] (k [mm]\in \IN)[/mm]
Eines vorweg: das ist kein Widerspruchsbeweis insofern, dass die Annahme [mm] $\phi(n)\neq 2^{k}$ [/mm] nirgends benutzt wurde.
>
> Sei [mm]\alpha_n[/mm] eine n-te Einheitswurzel, dann gilt:
> [mm][\IQ(\alpha_n)[/mm] : [mm]\IQ]= \phi(n),[/mm] da das Kreisteilungspolynom
> irreduzibel ist. ( <-- Also hier geben wir ein
> Gegenbeispiel an wodurch wir im folgenden zeigen, dass es
> nicht sein kann, dass [mm]\phi(n) \not= 2^k[/mm] (k [mm]\in \IN),[/mm] oder?
> Dann noch dazu, warum [mm][\IQ(\alpha_n) : \IQ]= \phi(n)[/mm] gilt:
> Dies gilt, weil [mm]Gal(\IQ(\alpha_n) / \IQ)[/mm] isomorph zu [mm](\IZ/n \IZ)^x[/mm]
> und [mm]\phi(n)=|(\IZ/n \IZ)^x|[/mm] und Gal(L/K)=[L:K] wenn L/K
> endlich ist, oder? )
Beides mal: Ja.
>
> Mit [mm]\phi(n) \not= 2^k[/mm] (k [mm]\in \IN)[/mm] kann [mm]\alpha_n[/mm] nicht
> konstruierbar sein, da eines der notwendigen Kriterien für
> Konstruierbarkeit einzer Zahl ist, dass ihr Grad über [mm]\IQ[/mm]
> eine Zweierpotenz ist. [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch zur Annahme
>
> " [mm]\Leftarrow[/mm] ": Vor.: [mm]\phi(n)[/mm] = [mm]2^k[/mm] (k [mm]\in \IN),[/mm] zz.: n ist
> konstruierbar
>
> [mm]G= Gal(\IQ(\alpha_n) / \IQ)[/mm] ist 2-Gruppe, da
> [mm]Gal(\IQ(\alpha_n) / \IQ)[/mm] isomorph zu [mm](\IZ/n \IZ)^x[/mm] eine
> endliche abelsche Gruppe der Ordnung [mm]2^k[/mm] ist (gleiche
> Erklärung wie oben)
Ja.
>
> Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte ablesche Gruppen
> existiert daher eine Kette von Normalteilern: [mm]G=G_r \supset G_{r-1} \supset[/mm]
> ... [mm]\supset G_0=1[/mm] mit [mm]G_i/G_{i-1}[/mm] isomorph zu [mm]\IZ/2 \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ( <-- Irgendwie hatte ich den Hauptsatz so verstanden, dass
> jede endliche abelsche Gruppe ein Produkt von zyklischen
> Gruppen von Primzahlpotenzordnung ist. Diese Verknüpfung
> verstehe ich noch nicht. Kann mir das jemand erklären?)
Du hast den Satz richtig in Erinnerung. Aus dieser Darstellung als Produkt zyklischer Gruppen lässt sich aber eine solche Folge von Untergruppen konstruieren: Ist $G\cong \times_{i=1}^{r} C_{2^{n_{i}}$, so sei etwa $C_{2^{n_{1}}}= <x>$. Dann hat $C:=<x^{2}>$ den Index $2$ in $C_{2^{n_{1}}$. Mache Dir klar, dass $G_{1}:= C\times\left(\times_{i=2}^{r} C_{2^{n_{i}}\right)$ den Index $2$ in $G$ hat. Dann Induktion nach der Gruppenordung.
Alternativ (und allgemeiner): Ist $G$ eine $2$-Gruppe und $M\leq G$ maximale Untergruppe, so hat $M$ den Index $2$ in $G$.
>
> Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie erhält man einen
> Körperturm der Fixkörper von [mm]\IQ(\alpha_n): \IQ=K_r \subset[/mm]
> ... [mm]\subset K_0= \IQ(\alpha_n)[/mm] mit [mm][K_{i-1}[/mm] :
> [mm]K_i]=|G_i/G_{i-1}|=2[/mm] (<-- auch hier bin ich verwirrt
> von der Verwendung des Satzes!?)
Dann schreibe, wie er lautet.
>
> Daher gilt: [mm]K_{i+1}=K_i(\sqrt(a_i))[/mm] mit [mm]a_i \in K_i[/mm]
> (<-- Weil jede quadratische Körpererweiterung durch die
> Adjunktion einer Quadratwurzel entsteht, oder?)
Richtig, wenn die Charakteristik [mm] $\neq [/mm] 2$ ist. Hier geht auch ein: Ist $x$ konstruierbar, dann auch [mm] $\sqrt{x}$.
[/mm]
>
> Und damit ist [mm]\alpha_n[/mm] konstruierbar (<-- und das sagt
> uns, dass das n-Eck konstruierbar ist, weil die [mm]alpha_n[/mm] die
> Eckpunkte sind, oder?)
Das ist die Definition für die Konstruierbarkeit eines $n$-Ecks: es ist konstruierbar, wenn eine primitive $n$-te Einheitswurzel konstruierbar ist; anschaulich sind die Potenzen von [mm] $\alpha_{n}$ [/mm] die Ecken, ja.
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> Kann mir jemand mit dem Verständnis helfen? Das wäre
> super!
>
> Liebe Grüße, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Sa 03.09.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Aha, jetzt ist es klarer geworden! Danke 
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