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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Do 03.01.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | Hallo wir haben als Hausaufgabe ein Arbeitsblatt mit mehreren Aufgaben bekommen,die ich größenteils lösen kann.Schwierigkeiten machen mir drei Aufgaben:
1.Beispiel einer einfachen Funktion,deren Graph eine Gerade als schräge Asymptote und zwei Wendepunkte hat.
2.Konstruktion einer einfachen Funktion,deren Graph eine Gerade als schräge Asymptote und zwei Wendepunkte aus derselben Seite der Asymptote hat,von denen genau einer ein Sattelpunkt ist.
3.Konstruktion einer einfachen Funktion,deren Graph eine Gerade als schräge Asymptote und zwei Wendepunkte auf verschiedenen Seiten der Asymptote hat,von denen genau einer ein Sattelpunkt ist.
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Ich weiß nicht wie ich anfangen soll die Aufgaben zu lösen und wäre für jeden hilfreichen Ansatz und Erklärung dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Do 03.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
offenbar geht es bei den Aufgaben um die Ermittlung einer gebrochen rationalen Funktion.
Anders sind nämlich die schrägen Asymptoten nicht machbar. Dazu muß der Zählergrad genau um 1 höher sein, als der Nennergrad. Nur dann ergibt sich nämlich nach Polynodivision eine Gerade als ganzrationaler Anteil.
> 1.Beispiel einer einfachen Funktion,deren Graph eine Gerade
> als schräge Asymptote und zwei Wendepunkte hat.
Mach doch mal den Ansatz mit einer Zählerfunktion 2. Grades und einer linearen Nennerfunktion.
Die schräge Asymptote ist klar. Nun erst Polynomdivision, dann 2 mal ableiten und Nullsetzen für die Wendestellen.
Was sehen wir? Das mit den Wendestellen wird so nichts. Mach es bitte trotzdem, damit dir das Problem klar wird.
Dann überlege, wie man den Ansatz korrigieren könnte, so daß es dann geht.
> 2.Konstruktion einer einfachen Funktion,deren Graph eine
> Gerade als schräge Asymptote und zwei Wendepunkte aus
> derselben Seite der Asymptote hat,von denen genau einer ein
> Sattelpunkt ist.
>
> 3.Konstruktion einer einfachen Funktion,deren Graph eine
> Gerade als schräge Asymptote und zwei Wendepunkte auf
> verschiedenen Seiten der Asymptote hat,von denen genau
> einer ein Sattelpunkt ist.
das mit der "selben" Seite bzw. "verschiedenen" Seiten der schrägen Asymptote ist mysteriös.
Da kann allenfalls eine senkrechte Asymptote (Polstelle) gemeint sein, sonst ist das nicht machbar.
Überlege einfach, daß es bei einer schrägen Asymptote keine "andere" Seite geben kann.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 03.01.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | Hallo,erstmals danke für die Antwort!
Ja,das Thema,welches wir gerade behandlen ist gebrochen rationale Funktionen.
Ich habe mich jetzt mal an die 1.Aufgabe getraut,dafür habe ich diese Funktion genommen:
[mm] f(x)=\bruch{3x²-x+4}{x+2}
[/mm]
nach der Polynomdivision habe ich rausbekommen:
[mm] (3x²-x+4):(x+2)=3x+7+\bruch{18}{x+2}
[/mm]
die schräge Asymptote ist y=3x-7
bei der ersten Ableitung habe ich raus: [mm] \bruch{-3x²-12x+6}{(x+2)²}
[/mm]
bei der zweiten Ableitung habe ich raus: [mm] \bruch{-6x²-6x+36}{(x+2)³}
[/mm]
Zur Berechnug der Wendepunkte muss ich ja die 2.Ableitung gleich 0 setzen,also f"(x)=0 da habe ich dann raus einmal einen Wendepunkt in [mm] (2/\bruch{14}{4}) [/mm] und einen Wendepunkt in (-3/-34)
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Für die Aufgaben 2 und 3 hab ich leider keine Ideen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Do 03.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Ich habe mich jetzt mal an die 1.Aufgabe getraut,dafür habe
> ich diese Funktion genommen:
>
> [mm]f(x)=\bruch{3x²-x+4}{x+2}[/mm]
Das macht die Sache unnötig kompliziert und verstellt dir den Blick für die wesentliche Einsicht!
Nimm besser ein einfaches x im Nenner... durch x+ oder - irgendwas ergibt sich nur eine Links- bzw Rechtsverschiebung und das ist hier irrelevant.
> nach der Polynomdivision habe ich rausbekommen:
> [mm](3x²-x+4):(x+2)=3x+7+\bruch{18}{x+2}[/mm]
> die schräge Asymptote ist y=3x-7
Tippfehler oben: - statt +, aber die Asymptote ist korrekt.
> bei der ersten Ableitung habe ich raus:
> [mm]\bruch{-3x²-12x+6}{(x+2)²}[/mm]
>
> bei der zweiten Ableitung habe ich raus:
> [mm]\bruch{-6x²-6x+36}{(x+2)³}[/mm]
rechne besser nochmal nach!
oder rechne hier vor... mit allen Zwischenschritten.
Die 2. Ableitung kann nur noch eine Konstante im Zähler haben.
Gruß
Will
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:01 Do 03.01.2008 | | Autor: | amilade |
Ok,danke!
[mm] f´(x)=\bruch{(6x-1)*(x+2)-(3x²-x+4)*(1)}{(x+2)²} [/mm]
[mm] =\bruch{(3x²+12x-6)}{(x+2)²}
[/mm]
[mm] f"(x)=\bruch{(6x+12)*(x+2)²-(3x²+12x-6)*2(x+2)*1}{(x+2)³}
[/mm]
[mm] =\bruch{36}{(x+2)³}
[/mm]
Das würde mit diesen Ergebnissen heißen,dass es keine 2 Wendepunkte geben kann.oder?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Do 03.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
das heißt nicht nur, daß es keine 2 Wendepunkte gibt: Es gibt nicht mal einen einzigen.
Was lernen wir daraus für unseren Ansatz mit einer linearen Nennerfunktion?
Gruß
Will
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:40 Do 03.01.2008 | | Autor: | amilade |
> Hallo,
>
> das heißt nicht nur, daß es keine 2 Wendepunkte gibt: Es
> gibt nicht mal einen einzigen.
> Was lernen wir daraus für unseren Ansatz mit einer
> linearen Nennerfunktion?
>
> Gruß
> Will
Hallo,
dass eine lineare Nennerfunktion nie einen Wendepunkt haben kann,der die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt nicht erfüllt werden kann (zweite Ableitung gleich nullsetzten)?
danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Do 03.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo amilade,
ich kann auf solche Korrekturmitteilungen nicht antworten.
Bitte verwende einfach den 4-"Frage"-Button.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 05.01.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | Hallo Will,
ich denke,dass eine lineare Nennerfunktion keine Wendepunkte haben kann. |
Denn die Notwendige Bedingung für die Wendestellen ist,dass die zweite Ableitung nullstellen aufweist und das könnte nur eine Funktion mit der Form ax²+bx+c.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Sa 05.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nein, eine Parabel hat keinen Wendepunkt.
Eine Funktion dritten Grades hat - wenn überhaupt - höchstens einen Wendep.
Eine Funktion vierten Grades hat dagegen höchstens 2 Wendepunkte Wendepunkte.
Was heisst das jetzt für deine Zählerfunktion?
Und da es schräge Asymptoten geben soll, was für die Nennerfunktion.
(Wenn du es dir jetzt noch sehr einfach machen willst, nimm eine zur y-Achse symmetrische Zählerfunktion, denn, wenn es einen WP gibt, hat sie dann genau zwei.)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 07.01.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | Hallo M.Rex,
ok jetzt habe ich das mit den Wendepunkten verstanden.
Danke |
Ich habe aber leider keine Antwort auf deine Frage,also was das jetzt für die Zählerfunktion und Nennerfunktion heißen soll(*schäm*)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mo 07.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Damit es einen Wendepunkt geben kann, muss die Zählerfunktion also einen bestimmten Grad (Höchsten Exponenten) haben. Welchen?
Und die Nennerfunktion muss dann einen Gerad niedriger sein, weil es ja eine Schiefe Asymptote gegen soll.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Di 08.01.2008 | | Autor: | amilade |
> Hallo.
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Hallo!
> Damit es einen Wendepunkt geben kann, muss die
> Zählerfunktion also einen bestimmten Grad (Höchsten
> Exponenten) haben. Welchen?
ax³+bx²+cx+d
>
> Und die Nennerfunktion muss dann einen Gerad niedriger
> sein, weil es ja eine Schiefe Asymptote gegen soll.
heißt das jetzt,dass wenn ich in der Zählerfunktion ax³ habe dann müsste ich in der Nennerfunktion ax² haben?
>
> Marius
Danke!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Di 08.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> > Hallo.
> >
> Hallo!
> > Damit es einen Wendepunkt geben kann, muss die
> > Zählerfunktion also einen bestimmten Grad (Höchsten
> > Exponenten) haben. Welchen?
>
> ax³+bx²+cx+d
> >
Yep, es soll aber zwei WP geben, also musst du doch eine Fkt. vierten Grades im Zähler nehmen.
> > Und die Nennerfunktion muss dann einen Gerad niedriger
> > sein, weil es ja eine Schiefe Asymptote gegen soll.
>
> heißt das jetzt,dass wenn ich in der Zählerfunktion ax³
> habe dann müsste ich in der Nennerfunktion ax² haben?
Genau, dann aber mit 3. Grades (wegen oben, sorry, hatte die Aufgabenstellung nicht korrekt gelesen)
> >
> > Marius
>
> Danke!!!
Und jetzt nimm die einfache Funktionen, z.B. im Zähler: [mm] (x+1)(x-1)(x-3)(x+3)=(x²-1)*(x²-9)=x^{4}-10x²+9
[/mm]
und im Nenner: [mm] x(x-2)(x+2)=x(x²-4)=x^{3}-4x
[/mm]
Du musst halt aufpassen, dass du keine gleichen Nullstellen im Zähler und Nenner hast, da du sonst diese wegkürzen könntest, und damit diene Bedingung nicht mehr erfüllt wäre.
Also:
[mm] f(x)=\bruch{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}{x(x-2)(x+2)}=\bruch{(x²-1)(x²-3)}{x(x²-4)}=\bruch{x^{4}-10x²+9}{x^{3}-4x} [/mm] tuts
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Fr 18.01.2008 | | Autor: | amilade |
DANKE
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