Konv.rad komplexer Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n
[/mm]
(2) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (3^n [/mm] + [mm] 4^n) z^{2n} [/mm] |
Hallo,
ich möchte mich in diesem Semester an der Veranstaltung Funktionentheorie probieren, scheitere aber gerade schon an der Wiederholung der Analysis I und II.
Kann mir jemand bei den oben angegebenen Aufgaben weiterhelfen?
Nun zu meinen Ideen:
zu (1) habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n= \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z-(-i))^n
[/mm]
Jetzt könnte ich doch mit Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius R wie folgt berechnen:
R= [mm] \bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}|^n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}}
[/mm]
Sind meine Überlegungen soweit korrekt?
Aber wie könnte ich bei (2) den Konvergenzradius ausrechnen?
Viele Grüße und danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Do 11.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden
> Potenzreihen:
> (1) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n[/mm]
>
> (2) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (3^n[/mm] + [mm]4^n) z^{2n}[/mm]
> Hallo,
> ich möchte mich in diesem Semester an der Veranstaltung
> Funktionentheorie probieren, scheitere aber gerade schon an
> der Wiederholung der Analysis I und II.
> Kann mir jemand bei den oben angegebenen Aufgaben
> weiterhelfen?
>
> Nun zu meinen Ideen:
> zu (1) habe ich mir folgendes überlegt:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n= \summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z-(-i))^n[/mm]
> Jetzt könnte ich
> doch mit Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius R wie folgt
> berechnen:
> R= [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}|^n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}}[/mm]
>
> Sind meine Überlegungen soweit korrekt?
Nein. Für [mm] a\ge [/mm] 0 ist [mm] a^{n^2} \ne a^{2n}. [/mm] Weiter ist [mm] \wurzel[n]{a^{n^2}}=a^n.
[/mm]
>
> Aber wie könnte ich bei (2) den Konvergenzradius
> ausrechnen?
[mm] 4^n \le 3^n+4^n \le 2*4^n
[/mm]
Ziehe jetzt die n-te Wurzel und lasse n [mm] \to \infty [/mm] gehen.
FRED
>
> Viele Grüße und danke!
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> > Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden
> > Potenzreihen:
> > (1) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n[/mm]
>
> >
> > (2) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (3^n[/mm] + [mm]4^n) z^{2n}[/mm]
> > Hallo,
> > ich möchte mich in diesem Semester an der
> Veranstaltung
> > Funktionentheorie probieren, scheitere aber gerade schon an
> > der Wiederholung der Analysis I und II.
> > Kann mir jemand bei den oben angegebenen Aufgaben
> > weiterhelfen?
> >
> > Nun zu meinen Ideen:
> > zu (1) habe ich mir folgendes überlegt:
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n= \summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> > (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z-(-i))^n[/mm]
> > Jetzt könnte
> ich
> > doch mit Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius R wie folgt
> > berechnen:
> > R= [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}|^n}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}}[/mm]
> >
> > Sind meine Überlegungen soweit korrekt?
>
> Nein. Für [mm]a\ge[/mm] 0 ist [mm]a^{n^2} \ne a^{2n}.[/mm] Weiter ist
> [mm]\wurzel[n]{a^{n^2}}=a^n.[/mm]
Oh nein, ganz blöder Fehler! Sorry!
Wäre ich denn so auf dem richtigen Weg?
R= [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n}}[/mm]
> >
> > Aber wie könnte ich bei (2) den Konvergenzradius
> > ausrechnen?
>
> [mm]4^n \le 3^n+4^n \le 2*4^n[/mm]
>
> Ziehe jetzt die n-te Wurzel und lasse n [mm]\to \infty[/mm] gehen.
Danke für den Hinweis! Ich bin gerade allerdings noch ein wenig unsicher, wie ich genau vorgehe bzw. das ganze aufschreibe. Also dank des Tipps weiß ich ja auch, dass
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} 4^n z^{2n} \le \summe_{n=0}^{\infty} (3^n +4^n)z^{2n} \le \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 2 [mm] \cdot 4^n z^{2n}
[/mm]
Muss ich jetzt nur aus [mm] 4^n [/mm] und [mm] 2*4^n [/mm] die n-te Wurzel ziehen? Oder aus [mm] 4^n \cdot z^{2n} [/mm] und [mm] 2*4^n \cdot z^{2n}?
[/mm]
Dementsprechend würde sich 4 und [mm] \wurzel[n]{2} \cdot [/mm] 4 bzw. [mm] 4z^2 [/mm] und [mm] \wurzel[n]{2} \cdot 4z^2 [/mm] ergeben. Und für n [mm] \to \infty [/mm] würde sich dann der Konvergenzradius von 4 bzw. [mm] 4z^2 [/mm] ergeben?
>
> FRED
> >
> > Viele Grüße und danke!
>
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Hallo Isabelle90,
> > > Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden
> > > Potenzreihen:
> > > (1) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n[/mm]
> >
> > >
> > > (2) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (3^n[/mm] + [mm]4^n) z^{2n}[/mm]
> > >
> Hallo,
> > > ich möchte mich in diesem Semester an der
> > Veranstaltung
> > > Funktionentheorie probieren, scheitere aber gerade schon an
> > > der Wiederholung der Analysis I und II.
> > > Kann mir jemand bei den oben angegebenen Aufgaben
> > > weiterhelfen?
> > >
> > > Nun zu meinen Ideen:
> > > zu (1) habe ich mir folgendes überlegt:
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n= \summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z-(-i))^n[/mm]
> > > Jetzt
> könnte
> > ich
> > > doch mit Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius R wie folgt
> > > berechnen:
> > > R= [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}|^n}}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}}[/mm]
> > >
> > > Sind meine Überlegungen soweit korrekt?
> >
> > Nein. Für [mm]a\ge[/mm] 0 ist [mm]a^{n^2} \ne a^{2n}.[/mm] Weiter ist
> > [mm]\wurzel[n]{a^{n^2}}=a^n.[/mm]
>
> Oh nein, ganz blöder Fehler! Sorry!
> Wäre ich denn so auf dem richtigen Weg?
> R= [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
und das wäre?
>
>
>
> > >
> > > Aber wie könnte ich bei (2) den Konvergenzradius
> > > ausrechnen?
> >
> > [mm]4^n \le 3^n+4^n \le 2*4^n[/mm]
> >
> > Ziehe jetzt die n-te Wurzel und lasse n [mm]\to \infty[/mm] gehen.
>
> Danke für den Hinweis! Ich bin gerade allerdings noch ein
> wenig unsicher, wie ich genau vorgehe bzw. das ganze
> aufschreibe. Also dank des Tipps weiß ich ja auch, dass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 4^n z^{2n} \le \summe_{n=0}^{\infty} (3^n +4^n)z^{2n} \le \summe_{n=0}^{\infty}[/mm] 2 [mm]\cdot 4^n z^{2n}[/mm]
>
> Muss ich jetzt nur aus [mm]4^n[/mm] und [mm]2*4^n[/mm] die n-te Wurzel
> ziehen? Oder aus [mm]4^n \cdot z^{2n}[/mm] und [mm]2*4^n \cdot z^{2n}?[/mm]
Zu berechnen ist für die äußeren Reihen doch [mm]\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|4^n\right|}}[/mm] bzw. [mm]\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|2\cdot{}4^n\right|}}[/mm]
>
> Dementsprechend würde sich 4 und [mm]\wurzel[n]{2} \cdot[/mm] 4
> bzw. [mm]4z^2[/mm] und [mm]\wurzel[n]{2} \cdot 4z^2[/mm] ergeben. Und für n
> [mm]\to \infty[/mm] würde sich dann der Konvergenzradius von 4 bzw.
> [mm]4z^2[/mm] ergeben?
Beide Male ergibt sich als Konvergenzradius [mm]\rho=\frac{1}{4}[/mm], mithin Konvergenz für [mm]|z^2|=z^2<\rho[/mm], also für [mm]|z|<1/2[/mm]
>
> >
> > FRED
> > >
> > > Viele Grüße und danke!
> >
>
Gruß
schachuzipus
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> Hallo Isabelle90,
>
> > > > Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden
> > > > Potenzreihen:
> > > > (1) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+
> [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n[/mm]
> > >
> > > >
> > > > (2) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (3^n[/mm] + [mm]4^n) z^{2n}[/mm]
> > > >
> > Hallo,
> > > > ich möchte mich in diesem Semester an der
> > > Veranstaltung
> > > > Funktionentheorie probieren, scheitere aber gerade schon an
> > > > der Wiederholung der Analysis I und II.
> > > > Kann mir jemand bei den oben angegebenen Aufgaben
> > > > weiterhelfen?
> > > >
> > > > Nun zu meinen Ideen:
> > > > zu (1) habe ich mir folgendes überlegt:
> > > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n= \summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z-(-i))^n[/mm]
> > > > Jetzt
> > könnte
> > > ich
> > > > doch mit Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius R wie folgt
> > > > berechnen:
> > > > R= [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}}[/mm]
> > > > = [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}|^n}}[/mm]
> > > > = [mm]\bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}}[/mm]
> > > >
> > > > Sind meine Überlegungen soweit korrekt?
> > >
> > > Nein. Für [mm]a\ge[/mm] 0 ist [mm]a^{n^2} \ne a^{2n}.[/mm] Weiter ist
> > > [mm]\wurzel[n]{a^{n^2}}=a^n.[/mm]
> >
> > Oh nein, ganz blöder Fehler! Sorry!
> > Wäre ich denn so auf dem richtigen Weg?
> > R= [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n}}[/mm]
>
> und das wäre?
Der Konvergenzradius wäre 1/e?
Weil für gerade n würde der Nenner ja gegen e gehen und für ungerade n gegen 1/e. Und da der limsup gesucht ist, wäre das für den Nenner doch e und insgesamt für den Konvergenzradius also 1/e?
>
> >
> >
> >
> > > >
> > > > Aber wie könnte ich bei (2) den Konvergenzradius
> > > > ausrechnen?
> > >
> > > [mm]4^n \le 3^n+4^n \le 2*4^n[/mm]
> > >
> > > Ziehe jetzt die n-te Wurzel und lasse n [mm]\to \infty[/mm] gehen.
> >
> > Danke für den Hinweis! Ich bin gerade allerdings noch ein
> > wenig unsicher, wie ich genau vorgehe bzw. das ganze
> > aufschreibe. Also dank des Tipps weiß ich ja auch, dass
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 4^n z^{2n} \le \summe_{n=0}^{\infty} (3^n +4^n)z^{2n} \le \summe_{n=0}^{\infty}[/mm]
> 2 [mm]\cdot 4^n z^{2n}[/mm]
> >
> > Muss ich jetzt nur aus [mm]4^n[/mm] und [mm]2*4^n[/mm] die n-te Wurzel
> > ziehen? Oder aus [mm]4^n \cdot z^{2n}[/mm] und [mm]2*4^n \cdot z^{2n}?[/mm]
>
> Zu berechnen ist für die äußeren Reihen doch
> [mm]\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|4^n\right|}}[/mm]
> bzw.
> [mm]\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|2\cdot{}4^n\right|}}[/mm]
>
> >
> > Dementsprechend würde sich 4 und [mm]\wurzel[n]{2} \cdot[/mm] 4
> > bzw. [mm]4z^2[/mm] und [mm]\wurzel[n]{2} \cdot 4z^2[/mm] ergeben. Und für n
> > [mm]\to \infty[/mm] würde sich dann der Konvergenzradius von 4 bzw.
> > [mm]4z^2[/mm] ergeben?
>
> Beide Male ergibt sich als Konvergenzradius
> [mm]\rho=\frac{1}{4}[/mm], mithin Konvergenz für [mm]|z^2|=z^2<\rho[/mm],
> also für [mm]|z|<1/2[/mm]
Danke!!!
>
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> > >
> > > FRED
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> > > > Viele Grüße und danke!
> > >
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo Isabelle90,
> > Hallo Isabelle90,
> >
> > > > > Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden
> > > > > Potenzreihen:
> > > > > (1) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+
> > [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n[/mm]
> > > >
> > > > >
> > > > > (2) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (3^n[/mm] + [mm]4^n) z^{2n}[/mm]
> > >
> > >
> > > Hallo,
> > > > > ich möchte mich in diesem Semester an der
> > > > Veranstaltung
> > > > > Funktionentheorie probieren, scheitere aber gerade schon an
> > > > > der Wiederholung der Analysis I und II.
> > > > > Kann mir jemand bei den oben angegebenen Aufgaben
> > > > > weiterhelfen?
> > > > >
> > > > > Nun zu meinen Ideen:
> > > > > zu (1) habe ich mir folgendes überlegt:
> > > > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (1+
> [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z+i)^n= \summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> > (1+ [mm]\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2} (z-(-i))^n[/mm]
> > > > > Jetzt
> > > könnte
> > > > ich
> > > > > doch mit Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius R wie folgt
> > > > > berechnen:
> > > > > R= [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}}[/mm]
> > > > > = [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}|^n}}[/mm]
> > > > > = [mm]\bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{2}}[/mm]
> > >
> > >
> > > > > Sind meine Überlegungen soweit korrekt?
> > > >
> > > > Nein. Für [mm]a\ge[/mm] 0 ist [mm]a^{n^2} \ne a^{2n}.[/mm] Weiter ist
> > > > [mm]\wurzel[n]{a^{n^2}}=a^n.[/mm]
> > >
> > > Oh nein, ganz blöder Fehler! Sorry!
> > > Wäre ich denn so auf dem richtigen Weg?
> > > R= [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|(1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n^2}|}}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{1}{limsup (1+\bruch{(-1)^n}{n})^{n}}[/mm]
> >
> > und das wäre?
>
> Der Konvergenzradius wäre 1/e?
> Weil für gerade n würde der Nenner ja gegen e gehen und
> für ungerade n gegen 1/e. Und da der limsup gesucht ist,
> wäre das für den Nenner doch e und insgesamt für den
> Konvergenzradius also 1/e?
Ja.
Gruss
MathePower
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