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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass Umordnungen konvergenter Folgen ebenfalls konvergent sind.
Muss der Grenzwert der Umordnung mit dem Grenzwert der Ausgangsfolge übereinstimmen? |
Hallo,
meine Idee sieht so aus:
Wenn [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert, so befinden sich in fast alle Folgenglieder in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von a für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Fast alle bedeutet alle bis auf endlich viele Ausnahmen.
Das ändert sich sicherlich nicht, wenn wir die Folge umordnen, also konvergiert auch jede Umordnung gegen a.
Reicht das als Beweis, oder kann/muss ich das irgendwie formaler aufschreiben? Wenn ja wäre ich für einen Tipp dakbar.
Oder ist mir da ein Denkfehler unterlaufen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichen Grüßen,
Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass Umordnungen konvergenter Folgen ebenfalls
> konvergent sind.
> Muss der Grenzwert der Umordnung mit dem Grenzwert der
> Ausgangsfolge übereinstimmen?
> Hallo,
>
> meine Idee sieht so aus:
>
> Wenn [mm]a_n[/mm] gegen a konvergiert, so befinden sich in fast alle
> Folgenglieder in der [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von a für jedes
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Fast alle bedeutet alle bis auf endlich
> viele Ausnahmen.
> Das ändert sich sicherlich nicht, wenn wir die Folge
> umordnen, also konvergiert auch jede Umordnung gegen a.
>
> Reicht das als Beweis, oder kann/muss ich das irgendwie
> formaler aufschreiben? Wenn ja wäre ich für einen Tipp
> dakbar.
Mir würde das reichen, aber wie andere das im Einzelnen sehen, weiß ich nicht.
Ganz korrekt kannst Du es so machen:
Sei [mm] (b_n) [/mm] eine Umordnung von [mm] (a_n), [/mm] also gibt es eine Bijektion [mm] \Phi [/mm] : [mm] \IN [/mm] --> [mm] \IN [/mm] mit
[mm] b_n [/mm] = [mm] a_{\Phi(n)} [/mm] ( n [mm] \in \IN).
[/mm]
Sei a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für n > N.
Jetzt kommt das Entscheidende (überlege Dir mal warum folgendes gilt):
es ex. ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] \Phi(n) [/mm] > N für n> [mm] n_0
[/mm]
Dann:
[mm] $|b_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für n > [mm] n_0
[/mm]
FRED
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> Oder ist mir da ein Denkfehler unterlaufen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Mit freundlichen Grüßen,
> Benjamin
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Jetzt kommt das Entscheidende (überlege Dir mal warum folgendes gilt):
es ex. ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] \Phi(n) [/mm] > N für n> [mm] n_0 [/mm]
Da [mm] \Phi [/mm] bijektiv ist gibt es nur endlich viele Zahlen (nämlich genau N), die auf eine Zahl <= N abgebildet werden. Also muss solch ein [mm] n_0 [/mm] existieren.
Vielen Dank für deine Hilfe!
Benjamin
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