Konvergente Rekursiv def. Folg < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Folge a(n) sei per Induktion definiert durch: a(0):= [mm] \wurzel{2} [/mm] und a(n+1):= [mm] \wurzel{(an)+2}.. [/mm] Konvergiert diese Folge? Gebe ggf. den Grenzwert an |
Hab leider keine Idee, wie ich diese aufgabe angehen soll
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also bei der rekursiv definierten Folge muss gelten:
Gibt es IRGENDEINEN Grenzwert in R, so muss er die gleichung
[mm]a=\wurzel{a+2}[/mm]
erfüllen (wenn er erreicht wird, dann muss a(n+1)=a(n) sein also alle weiteren folgenglieder gleich, sonst wäre er ja nicht der Grenzwert).
Die Lösungen dieser (in deinem Fall quadratischen Gleichung) sind die möglichen Grenzwerte der Folge, also WENN sie konvergiert, dann gegen so einen Wert. Besitzt die Gleichung in R keine Lösung, so kann die Folge für keinen Startwert einen Grenzwert haben.
Ist die Menge der möglichen Grenzwerte bestimmt, kann man den Hauptsatz der Folgen benutzen.
Ist eine Folge monoton und beschränkt, so ist sie konvergent.
Betrachten wir also einmal die Folge und sehen nach, auf welcher Menge sie monoton wachsend ist. (auf dem Komplement ist sie dann automatsich monoton fallend)
d.h.: a(n+1)>=a(n)
nun ist jedoch [mm]a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+2}[/mm]
und damit
[mm]\wurzel{a_{n}+2}\ge a_{n}[/mm]
Diese quadratische Ungleichung kannst du wieder Lösen (du hast sie sogar bereits gelöst, es sind dieselben Terme wie vorher nur mit Ungleichheitszeichen).
Zeichne dir am besten irgendwie die Parabel auf, die die entsprechende Gleichung darstellt. Du musst nur herausfinden, wo die Ungleichung erfüllt ist und wo nicht.
Soviel zur Monotonie.
Jetzt musst du unterscheiden ob sich die Folge monoton auf einen der Grenzwerte zubewegt. Du hast diese Information schon also nur ein bisschen überlegen. Wenn nicht, dann kann sie nicht konvergieren. (z.b. es gibt einen möglichen Grenzwert und für alle Startwerte die kleiner als der vermeintliche Grenzwert sind ist die Folge fallend, für alle größeren wachsend, so kann die Folge nicht konvergieren)
So kannst du deine möglichen Grenzwerte schon etwas einschränken. Du im speziellen musst das ganze nur für den Startwert Sqrt(2) untersuchen also betrachte einfach nur den Bereich.
Aber vorsicht: Auch wenn die Folge für den Startwert sqrt(2) monoton gegen einen möglichen Grenzwert strebt, heißt das noch lange nicht, dass sie dorthin konvergiert. Es fehlt noch die Beschränktheit.
Dazu musst du die Folge (eigentlich immer durch den vermeintlichen Grenzwert) nach oben abschätzen.
Damit hast du gezeigt:
Die rekursiv definierte Folge ist monoton und beschränkt, also ist sie konvergent.
Ich hoffe das hat geholfen
Mfg
Michael
> Die Folge a(n) sei per Induktion definiert durch: a(0):=
> [mm]\wurzel{2}[/mm] und a(n+1):= [mm]\wurzel{(an)+2}..[/mm] Konvergiert
> diese Folge? Gebe ggf. den Grenzwert an
> Hab leider keine Idee, wie ich diese aufgabe angehen soll
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:30 Sa 13.05.2006 | | Autor: | vanguard2k |
Ich habs mir erlaubt kurz durchzurechnen:
Die möglichen Grenzwerte sind -1 und 2.
Mit der Monotonie siehts folgendermaßen aus:
Für Werte <-1 -> mon. fallend
Für Werte zw. -1 und 2 -> mon. wachsend
Für Werte >2 ->mon. fallend
=> Man kann -1 als Grenzwert ausschließen. 2 ist von jetzt an unser Kandidat
Beschränktheit:
Zeigt man so:
für [mm] a_n [/mm] zwischen -1 und 2 muss
a_(n+1)<=2 sein.
[mm]a_{n+1}=\wurzel{a_n+2}\leq ...[/mm]
Das schlimmste was hierbei passieren kann ist, dass [mm] a_n [/mm] den größtmöglichen Wert annimmt(monotonie der Wurzel).
Der größtmögliche Wert ist 2, da wir [mm] a_n<=2 [/mm] betrachtet haben
[mm][mm] ...\leq \wurzel{2+2}=2 \leq [/mm] 2
also beschränkt.
Wurzel 2 liegt zwischen -1 und 2. Daher konvergiert die Folge gegen 2.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:32 Di 06.06.2006 | | Autor: | tired |
Ich habe zu diesem Beitrag eine Frage. Da er schon beantwortet wurde und ich nicht mehr darauf antworten kann, erstelle ich nun diesen neuen Post.
Wie kommt vanguard2k auf die beiden möglichen Ergebnisse -1 und 2? Es ist mir klar, dass man sie ganz leicht durch ausprobieren finden kann, aber gibt es auch einen rechnerischen Weg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:00 Di 06.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo tired,
ich habe Deine Frage hierher verschoben. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
So werden u.U. die beiden Vorredner leichter auf Deine Nachfrage aufmerksam.
Zur Info:
Du hättest auch bei vanguard2k's Mitteilung unten drunter auf "Ich möchte jetzt eine Frage zu obiger Mitteilung stellen." klicken können.
Schöne Grüße,
ardik
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mi 14.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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