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| Aufgabe | Geben Sie Reihenwert an und untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
[mm] $\sum_{m=2}^\infty \frac{2^{n+1}}{5*3^n}$ [/mm] |
Diese Aufgabe wurde übrigens von mir in keinem anderen Forum gestellt.
Eine Bemerkung vorab: Die Reihenkonvergenzkriterien sind für mich absolut neu.
Ich dachte daran, das Quotientenkriterium zu nutzen d.h. ich rechne folgendermaßen:
$ [mm] \frac{2^{n+2}}{5*3^{n+1}} [/mm] * [mm] \frac{5*3^n}{2^{n+1}} [/mm] = 2/3 $
Und da $ 0 < 2/3 < 1 $ ist die Reihe konvergent.
Und dann noch der Reihenwert:
Da weiß ich irgendwie gar nicht, was man machen soll. Die Reihe geeignet umformen?
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Hallo,
> Geben Sie Reihenwert an und untersuchen Sie die Reihe auf
> Konvergenz:
Das ist eine etwas seltsame Reihenfolge. Denn einen Reihenwert im eigentlichen Sinn gibt es ja nur bei Konvergenz. Sicher, dass das so heißt?
>
> [mm]\sum_{m=2}^\infty \frac{2^{n+1}}{5*3^n}[/mm]
> Eine Bemerkung vorab: Die Reihenkonvergenzkriterien sind
> für mich absolut neu.
>
> Ich dachte daran, das Quotientenkriterium zu nutzen d.h.
> ich rechne folgendermaßen:
>
> [mm]\frac{2^{n+2}}{5*3^{n+1}} * \frac{5*3^n}{2^{n+1}} = 2/3[/mm]
>
> Und da [mm]0 < 2/3 < 1[/mm] ist die Reihe konvergent.
Das ist zwar grundsätzlich richtig, aber eignetlich nicht notwendig, wie wir gleich sehen werden.
>
> Und dann noch der Reihenwert:
>
> Da weiß ich irgendwie gar nicht, was man machen soll. Die
> Reihe geeignet umformen?
Ja, wenn du das Reihenglied geeigent umformst, dann siehst du, dass da im Prinzip eine geometrische Reihe mit |q|<1 steht, deren Konvergenz sicherlich vorausgesetzt werden darf.
Zerlege dafür den Zähler folgendermaßen:
[mm] 2^{n+1}=2*2^n
[/mm]
Gruß, Diophant
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[mm] $\sum_{n=2}^\infty \frac{2^{n+1}}{5\cdot{}3^n} [/mm] $
Hallo,
ein kleiner Fehler war drin, denn die Summe durchläuft ab Index n = 2 und nicht m = 2. Aber so wie es nun da steht ist es richtig!
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Hallo nochmals,
ich komme leider nicht weiter.
An dieser Zerlegung des Zählers habe ich schon gedacht, zumindest erhalte ich ja dann offenbar:
[mm] $\frac{2^n * 2}{3^n * 5} [/mm] = [mm] (\frac{2}{3})^n [/mm] * [mm] \frac{2}{5}$ [/mm] (was eben aufsummiert wird)
Aber wie bringt mich das zu dem gesuchten Reihenwert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 So 19.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmals,
>
> ich komme leider nicht weiter.
>
> An dieser Zerlegung des Zählers habe ich schon gedacht,
> zumindest erhalte ich ja dann offenbar:
>
> [mm]\frac{2^n * 2}{3^n * 5} = (\frac{2}{3})^n * \frac{2}{5}[/mm]
> (was eben aufsummiert wird)
>
> Aber wie bringt mich das zu dem gesuchten Reihenwert?
Tipp: geometrische Reihe.
FRED
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Hi,
peinlich, aber ich versteh das irgendwie nicht..
WENN ich es richtig verstehe, dann ist der Wert von $ [mm] (\frac{2}{3})^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-2/3} [/mm] = 3$ da 2/3 < 1.
Und letztlich ergibt sich als Wert dann 3 * 2/5 = 6/5 ?
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Hallo Kartoffelchen,
> peinlich, aber ich versteh das irgendwie nicht..
Was soll daran peinlich sein?
> WENN ich es richtig verstehe, dann ist der Wert von
> [mm](\frac{2}{3})^n = \frac{1}{1-2/3} = 3[/mm] da 2/3 < 1.
Oops. Erstmal gehört da ganz links unbedingt nocht ein Summenzeichen hin, und zwar so: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n=\cdots
[/mm]
Dann ist die Begründung ein bisschen knapp, aber in der Tat darfst Du die Summenformel für unendliche geometrische Summen anwenden, da hier |q|<1 gilt.
> Und letztlich ergibt sich als Wert dann 3 * 2/5 = 6/5 ?
Nein. Deine Gleichung würde stimmen, wenn die Summe bei n=0 beginnen würde. Das tut sie aber nicht. Du musst also erst noch die ersten beiden Glieder rausrechen.
Insgesamt rauskommen sollte [mm] \bruch{8}{15}.
[/mm]
Grüße
reverend
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Hallo,
peinlich ist, dass ich bei so vielen Aufgaben Probleme habe.. Bzw. ist das sehr ärgerlich.
Ich glaube, ich habs nun:
[mm] $\sum_{n=2}^{\infty} (\frac{2^{n+1}}{5*3^n}) [/mm] = [mm] \frac{2}{5} [/mm] * [mm] \sum_{n=2}^\infty (\frac{2}{3})^n [/mm] = [mm] \frac{2}{5} [/mm] * [mm] (\sum_{n=0}^\infty (\frac{2}{3})^n [/mm] - 1 - [mm] \frac{2}{3}) [/mm] = 8/15 $ (unter Anwendung der geom. Reihe)
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann sollte das so stimmen und stimmt zudem mit deiner Lösung überein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mo 20.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
sieht gut aus.
> peinlich ist, dass ich bei so vielen Aufgaben Probleme
> habe.. Bzw. ist das sehr ärgerlich.
Diese Art von Ärger kennt jeder hier, denke ich. Der Rest ist Übung. Geübten Ärger hält man besser aus. 
> Ich glaube, ich habs nun:
>
> [mm]\sum_{n=2}^{\infty} (\frac{2^{n+1}}{5*3^n}) = \frac{2}{5} * \sum_{n=2}^\infty (\frac{2}{3})^n = \frac{2}{5} * (\sum_{n=0}^\infty (\frac{2}{3})^n - 1 - \frac{2}{3}) = 8/15[/mm]
> (unter Anwendung der geom. Reihe)
Ja, das ist ok. Sicherheitshalber würde ich aber entweder noch ein zusätzliches Klammerpaar um die Summe setzen oder einfach die Reihenfolge der Summanden ändern, so dass da [mm] -1-\bruch{2}{3}+\summe\cdots [/mm] in der Klammer steht. Dann ist es auch klar, was eigentlich summiert wird.
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann sollte das so
> stimmen und stimmt zudem mit deiner Lösung überein.
Wie gesagt: Rechnung richtig, Notation noch nicht ganz optimal.
Grüße
reverend
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