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| Aufgabe | | Ist die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{i^{i}} [/mm] konvergent? x>0 sei beliebig,aber fest gewählt |
Wie geht man Konvergenzaufgaben an?
Was sind die ersten Schritte?
Erstellt man erst ein kleine Reihe und dann sucht man sich den Quotienten, was ist wenn man keinen Quotienten findet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 So 22.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen,
zur Bestimmung der Konvergenz von Reihen gibt es diverse Kriterien, die Aussagen darüber machen, wann eine Reihe konvergiert, z.B. Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Majorantenkriterium, Cauchy-Kriterium, Leibniz-Kriterium.
Lies darüber am besten mal was! 
In Deinem Beispiel (obwohl ich nicht weiß, was das x in der Aufgabenstellung soll) lässt sich das Majorantenkriterium anwenden. Dabei schätzt man die Reihe gegen eine andere Reihe ab, von der man weiß, dass sie konvergiert.
Man weiß ja, dass
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{i^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^{2}}{6},
[/mm]
daher gilt (überlege Dir, warum!)
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{i^{i}} [/mm] < [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{i^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^{2}}{6}
[/mm]
also ist Deine Reihe konvergent.
Liebe Grüße,
Matthias.
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