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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{e^{n}}{1+e^{2n}}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(ln n)^{p} (ln ln n)^{q}},
[/mm]
wobei p>0, q [mm] \ge [/mm] 0 vorgegebene reelle Zahlen sind. Zeigen Sie auch, dass der Wert der Reihe in (a) kleiner ist als [mm] \bruch{\pi +2}{4}.
[/mm]
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Hallo!
Komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz zurecht...
Habe bei der (a) [mm] e^{n} [/mm] ausgeklammert. [mm] \bruch{1}{e^{n}} [/mm] ist doch eine Nullfolge, oder? Dann hätte ich als Ergebnis 0. Stimmt das?
Und wie Zeige ich nun, dass der Wert kleiner ist als [mm] \bruch{\pi +2}{4}?
[/mm]
Das eigentliche Problem ist die (b)...
Habe das Quotientenkriterium angewendet und komme damit auf
[mm] \bruch{n (ln n)^{p} (ln ln n)^{q}}{(n+1) (ln n+1)^{p} (ln ln n+1)^{q}} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(n+1) (ln 1)^{p} (ln ln 1)^{q}} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(n+1)*0*(ln 0)^{q}} [/mm]
ln 0 ist aber nicht lösbar. Und allgemein würde auch wenn ln0 lösbar wäre dann stehen [mm] \bruch{n}{0} [/mm] und das ist ja auch nicht lösbar...UND NUN?
Wäre echt super, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.
Danke!
LG, Raingirl87
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> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
> (a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{e^{n}}{1+e^{2n}}[/mm]
> (b)
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(ln n)^{p} (ln ln n)^{q}},[/mm]
>
> wobei p>0, q [mm]\ge[/mm] 0 vorgegebene reelle Zahlen sind. Zeigen
> Sie auch, dass der Wert der Reihe in (a) kleiner ist als
> [mm]\bruch{\pi +2}{4}.[/mm]
>
> Hallo!
>
> Komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz zurecht...
> Habe bei der (a) [mm]e^{n}[/mm] ausgeklammert. [mm]\bruch{1}{e^{n}}[/mm] ist
> doch eine Nullfolge, oder? Dann hätte ich als Ergebnis 0.
> Stimmt das?
Hallo,
ich ahne nur ansatzweise, was Du gemacht hast.
War das Ziel der beschriebenen Bemühungen, zu zeigen, daß [mm] \bruch{e^{n}}{1+e^{2n}} [/mm] eine Nullfolge ist?
Es ist in der Tat eine Nullfolge.
Aber was sagt uns das? Es besteht die MÖGLICHKEIT, daß die Reihe konvergiert.
Wenn es keine Nullfolge wäre, könnten wir aufhören.
So aber lohnt sich das Weiterdenken.
Daß [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{e^{n}}{1+e^{2n}}[/mm] wirklich konvergiert, konnte ich mit dem Quotientenkriterium zeigen.
Zur Abschätzung
Es ist [mm] \summe_{n=1}^{m} \bruch{e^{n}}{1+e^{2n}}<\summe_{n=1}^{m} \bruch{e^{n}}{e^{2n}}=\summe_{n=1}^{m} \bruch{1}{e^{n}}= \summe_{n=1}^{m} (\bruch{1}{e})^n [/mm] für alle m [mm] \in \IN.
[/mm]
Also ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{e^{n}}{1+e^{2n}} \le \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{e})^n =\bruch{1}{e-1} [/mm] (geometrische Reihe)
[mm] <\bruch{1}{2-1}=1<\bruch{5}{4}< \bruch{\pi +2}{4}
[/mm]
Gruß v. Angela
> Und wie Zeige ich nun, dass der Wert kleiner ist als
> [mm]\bruch{\pi +2}{4}?[/mm]
> Das eigentliche Problem ist die (b)...
> Habe das Quotientenkriterium angewendet und komme damit
> auf
> [mm]\bruch{n (ln n)^{p} (ln ln n)^{q}}{(n+1) (ln n+1)^{p} (ln ln n+1)^{q}}[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{(n+1) (ln 1)^{p} (ln ln 1)^{q}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{(n+1)*0*(ln 0)^{q}}[/mm]
> ln 0 ist aber nicht lösbar. Und allgemein würde auch wenn
> ln0 lösbar wäre dann stehen [mm]\bruch{n}{0}[/mm] und das ist ja
> auch nicht lösbar...UND NUN?
> Wäre echt super, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.
> Danke!
>
> LG, Raingirl87
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Hallo!
Ich habe bei der (a) nun das Quotientenkriterium angewendet:
[mm] \bruch{e^{n+1}*(1+e^{2n})}{(1+e^{2n+2})*e^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{e*(1+e^{2n})}{1+e^{2n+2}} [/mm]
Und da komm ich nun schonwieder nicht weiter. :( Kann ich jetzt vielleicht [mm] (1+e^{2n}) [/mm] kürzen? Also so, dass dann noch steht [mm] \bruch{e}{e²} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] .?
LG, Raingirl87
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> [mm]\bruch{e^{n+1}*(1+e^{2n})}{(1+e^{2n+2})*e^{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{e*(1+e^{2n})}{1+e^{2n+2}}[/mm]
So hab' ich's gemacht:
[mm] \le \bruch{e*(1+e^{2n})}{e^{2n+2}}=\bruch{(1+e^{2n})}{e^{2n+1}}
[/mm]
[mm] =...\le [/mm] ...
Wichtig ist, daß man nicht <1 herausbekommt, sondern eine konkrete Zahl, welche <1 ist.
Gruß v. Angela
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Ich versteh´s nicht... :(
Was genau muss ich nun machen, wenn ich bei [mm] \bruch{e*(1+e^{2n})}{1+e^{2n+2}} [/mm] angekommen bin?
e ausklammern und da wird im Nenner aus der 1 eine NF, ja?
Und dann setze ich den Bruch <1? Ne aber da komme ich auch auf nichts...ich verzweifle noch an der blöden Konvergenz... :(
LG, Raingirl87
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> Was genau muss ich nun machen, wenn ich bei
> [mm]\bruch{e*(1+e^{2n})}{1+e^{2n+2}}[/mm] angekommen bin?
Möglichst geschickt abschätzen
[mm] \bruch{e*(1+e^{2n})}{1+e^{2n+2}}
[/mm]
[mm] <\bruch{e*(1+e^{2n})}{e^{2n+2}} [/mm] das hat nichts mit Nullfolge zu tun, sondern damit, daß z.b. [mm] \bruch{3}{1+4}<\bruch{3}{4} [/mm] ist.
[mm] <\bruch{(1+e^{2n})}{e^{2n+1}} [/mm] gekürzt mit e
[mm] =\bruch{1}{e^{2n+1}}+\bruch{e^{2n}}{e^{2n+1}}
[/mm]
=...
<...
Nun laß' Dir noch etwas Hübsches einfallen!
Gruß v. Angela
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Tut mir leid, dass ich so nerve...jetzt die hoffentlich letzte Frage...
> [mm]=\bruch{1}{e^{2n+1}}+\bruch{e^{2n}}{e^{2n+1}}[/mm]
= [mm] \bruch{1}{e^{2n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
...kann ich ketzt NF anwenden? Dann wäre jetzt der erste Bruch eine NF und es würde [mm] \bruch{1}{e} [/mm] rauskommen?
Vielen, vielen Dank für deine Mühe!!!
LG, Raingirl87
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> > [mm]=\bruch{1}{e^{2n+1}}+\bruch{e^{2n}}{e^{2n+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{e^{2n+1}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
> ...kann ich ketzt NF anwenden?
Ach, Du mit Deiner Nullfolge! Nee, die können wir hier nicht gebrauchen.
Aber überlege doch mal, wie groß [mm] \bruch{1}{e^{2n+1}} [/mm] schlimmstenfalls werden kann. Immerhin ist ja [mm] (\bruch{1}{e^{2n+1}}) [/mm] monoton fallend. (Und Nullfolge... Aber: es interessiert im Moment nicht so.)
Gruß v. Angela
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> (b)
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(ln n)^{p} (ln ln n)^{q}},[/mm]
>
> wobei p>0, q [mm]\ge[/mm] 0 vorgegebene reelle Zahlen sind.
>
> Das eigentliche Problem ist die (b)...
> Habe das Quotientenkriterium angewendet und komme damit
> auf
> [mm]\bruch{n (ln n)^{p} (ln ln n)^{q}}{(n+1) (ln n+1)^{p} (ln ln n+1)^{q}}[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{(n+1) (ln 1)^{p} (ln ln 1)^{q}}[/mm]
Hallo,
Deine Umformung solltest du nochmals untersuchen.
Sie erscheint mir etwas abenteuerlich - also falsch.
Gruß v. Angela
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da gabs kein ln(ab), was zu ln(a)+ln(b) werden könnte sondern es war ln(n+1). :( Kann ich das irgendwie umformen oder so?
LG, Claudi
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> da gabs kein ln(ab), was zu ln(a)+ln(b) werden könnte
> sondern es war ln(n+1).
Eben!!!!
Und daß ich den Verdacht hatte, daß Du daraus im Verlauf Deiner Kürzungsorgie ln(n)ln(1) gemacht hast, hat mich sehr, sehr traurig gemacht...
Wenn ich mich getäuscht habe: umso besser.
Gruß v. Angela
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