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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Hallo ihr lieben, seid wieder mal meine letzte Rettung !
Wie bestimm ich den Grenzwert für
[mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] x>0
Wie kann ich denn da was herausheben??? Bitte um hilfe.
Lg
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Hallo,
wie wäre es mit folgender Idee:
Sei [mm] $k_0 [/mm] = [mm] \left[x\right]+1$. [/mm] (Gaußklammer)
Dann ist natürlich Folgendes wahr:
[mm] $\forall k>k_0: \bruch{x}{k} [/mm] < [mm] \bruch{x}{k_0} [/mm] < 1$.
Dieselbe Ungleichung gilt natürlich für ein Produkt aus Faktoren, die diese Bedingung erfüllen:
[mm] $\produkt_{k=k_0+1}^{n} \bruch{x}{k} [/mm] < [mm] \produkt_{k=k_0+1}^{n} \bruch{x}{k_0}$
[/mm]
Die Ungleichung ist auch dann noch erfüllt, wenn wir sie auf beiden Seiten mit demselben Faktor multiplizieren:
[mm] $\left(\produkt_{k=1}^{k_0} \bruch{x}{k}\right)\cdot{}\left(\produkt_{k=k_0+1}^{n} \bruch{x}{k}\right) [/mm] < [mm] \left(\produkt_{k=1}^{k_0} \bruch{x}{k}\right)\cdot{}\left(\produkt_{k=k_0+1}^{n} \bruch{x}{k_0}\right)$
[/mm]
Diese Ungleichung lässt sich aber vereinfachen zu:
[mm]\produkt_{k=1}^{n} \bruch{x}{k} = \bruch{x^n}{n!}\ \ \ <\ \ \ \bruch{x^{k_0}}{k_0!}\cdot{}\bruch{x^{n-k_0}}{k_0^{n-k_0}} = \bruch{x^{k_0}}{k_0!}\cdot{}\left(\bruch{x}{k_0}\right)^{n-k_0}[/mm]
Wir können also jedes Folgenglied nach oben abschätzen. Damit können wir aber auch den Grenzwert unser Folge abschätzen (falls er existiert):
[mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!} < \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^{k_0}}{k_0!}\cdot{}\left(\bruch{x}{k_0}\right)^{n-k_0} = \bruch{x^{k_0}}{k_0!}\cdot{}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{x}{k_0}\right)^{n-k_0}[/mm]
Ich denke, diesen Grenzwert kannst du bestimmen.
Da deine Folge nicht negativ werden kann, hast du dann die Lösung, oder?
Gruß
Martin
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