Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Sa 25.04.2009 | | Autor: | thadod |
Hallo Zusammen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(x-2)^k}{k}
[/mm]
Wir sollen zunächst dessen Konvergenzbereich und anschließend dessen Verhalten an den Randpunkten des Konvergenzebereiches Untersuchen.
Die Konvergenz von Reihen ist mir bereits aus der Analysis 1 bekannt nur leider war es hier der Fall, dass wir in unseren Reihen nur eine Variable hatten. Wie z.B. folgende Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}
[/mm]
In der Reihe, welche ich oben geschrieben habe, ist allerdings nun noch die Variable x enthalten.
Ich weiß nun leider nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Ich weiß, dass sie mit Sicherheit einfach ist. Doch leider habe ich keine Ahnung, was ich nun machen soll. Das liegt allerdings an 1. Linie leider an der Variablen x.
Ich hoffe und bitte sehr darum, dass ihr mir helfen könnt.
Mit freundlichen Grüßen thadod
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Hallo Dominic,
> Hallo Zusammen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Reihe:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(x-2)^k}{k}[/mm]
> Wir sollen zunächst dessen Konvergenzbereich und
> anschließend dessen Verhalten an den Randpunkten des
> Konvergenzebereiches Untersuchen.
>
> Die Konvergenz von Reihen ist mir bereits aus der Analysis
> 1 bekannt nur leider war es hier der Fall, dass wir in
> unseren Reihen nur eine Variable hatten. Wie z.B. folgende
> Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm]
>
> In der Reihe, welche ich oben geschrieben habe, ist
> allerdings nun noch die Variable x enthalten.
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> Ich weiß nun leider nicht, wie ich an diese Aufgabe
> herangehen soll. Ich weiß, dass sie mit Sicherheit einfach
> ist. Doch leider habe ich keine Ahnung, was ich nun machen
> soll. Das liegt allerdings an 1. Linie leider an der
> Variablen x.
Das Ding oben ist eine sogenannte Potenzreihe
Allg. ist [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}(x-x_0)^k$ [/mm] eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0$
[/mm]
Du hast also eine Potenzreihe um [mm] $x_0=2$
[/mm]
Für Potenzreihen gibt es verschiede Möglichkeiten, den Konvergenzradius auszurechnen
1) Berechne [mm] $R=\limsup\limits_{k\to\infty}\left|\sqrt[k]{a_k}\right|$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $r=\frac{1}{R}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
Es gilt dann, dass die (Potenz-)Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}(x-x_0)^k$ [/mm] für [mm] $|x-x_0|r$ [/mm] divergiert
Die Ränder [mm] $|x-x_0|=r$ [/mm] musst du (wie in der Aufgabenstellung auch steht) separat untersuchen
Das nennt sich das Kriterium von Cauchy-Hadamard und ist aus dem Wurzelkriterium abgeleitet
2) Berechne [mm] $R=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius wieder [mm] $r=\frac{1}{R}$ [/mm] mit den Bemerkungen oben
Das nennt sich glaube ich Kriterium von Euler (und ist an das QK angelehnt)
Du kannst aber auch mal direkt das QK auf deine Reihe loslassen
Mit [mm] $b_k:=\frac{1}{k}\cdot{}(x-2)^k$ [/mm] ist deine Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$
[/mm]
Damit [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right|=\left|\frac{(x-2)^{k+1}\cdot{}k}{(x-2)^k\cdot{}(k+1)}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}|x-2|\cdot{}\frac{k}{k+1}=|x-2|\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k}{k+1}=|x-2|$
[/mm]
Das QK sagt also: Konvergenz für $|x-2|<1$ ...
Nun schaue, wie es mit den Rändern ist ...
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> Ich hoffe und bitte sehr darum, dass ihr mir helfen könnt.
>
> Mit freundlichen Grüßen thadod
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Sa 25.04.2009 | | Autor: | thadod |
Okay. Also zu dem Thema Potenzreihen sind wir in Analysis 1 leider nicht mehr gekommen, bedeutet also selber recharchieren.
Ich danke dir zunächst für deine Antwort und melde mich sobald ich eventuell nochmal fragen hierzu hätte.
MFG thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 So 26.04.2009 | | Autor: | thadod |
Hello again.
Ich habe mir nun nochmal gedanken gemacht.
Also gut ich habe also die Potenzreihe [mm] \summe^{\infty}_{k=1}=\bruch{(x-2)^k}{k}
[/mm]
Es heißt ja, dass die Potenzreihe [mm] \summe^{\infty}_{k=1}=(x-x_0)^k [/mm] für alle x mit der Eigenschaft [mm] |x-x_0|R [/mm] divergent, wobei R der Konvergenzradius ist und sich wie folgt berechnen lässt: [mm] R=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_k}{a_{k+1}}|
[/mm]
wobei ich jetzt sagen würde, dass [mm] a_k [/mm] in meinem Fall [mm] a_k=\bruch{1}{k} [/mm] ist. Um nun den Konvergenzradius bestimmen zu können, berechne ich [mm] R=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{k}}{\bruch{1}{k+1}}|==\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k+1}{k}=1
[/mm]
Jetzt habe ich den Konvergenzradius. Aber wie kann ich genau weitergehen???
Hoffe ihr könnt mir helfen.
MFG thadod
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Hallo nochmal,
> Hello again.
> Ich habe mir nun nochmal gedanken gemacht.
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> Also gut ich habe also die Potenzreihe
> [mm]\summe^{\infty}_{k=1}=\bruch{(x-2)^k}{k}[/mm]
>
> Es heißt ja, dass die Potenzreihe
> [mm] $\summe^{\infty}_{k=1}\red{a_k\cdot{}}(x-x_0)^k$ [/mm] für alle x mit der
> Eigenschaft [mm]|x-x_0|R[/mm]
> divergent, wobei R der Konvergenzradius ist und sich wie
> folgt berechnen lässt:
> [mm]R=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_k}{a_{k+1}}|[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wobei ich jetzt sagen würde, dass [mm]a_k[/mm] in meinem Fall
> [mm]a_k=\bruch{1}{k}[/mm] ist. Um nun den Konvergenzradius bestimmen
> zu können, berechne ich
> [mm]R=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{k}}{\bruch{1}{k+1}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k+1}{k}=1[/mm]
>
> Jetzt habe ich den Konvergenzradius. Aber wie kann ich
> genau weitergehen???
Ok, du weißt nun, dass deine Reihe für $|x-2|<1$, also für [mm] $x\in [/mm] (1,3)$ konvergiert und für $|x-2|>1$, also für $x>3$ und $x<1$ divergiert.
Bleiben die Randpunkte $x=1$ und $x=3$ zu untersuchen.
Setze jeweils $x=1$ bzw. $x=3$ in die Ausgangsreihe ein und untersuche mit den "normalen" dir bekannten Konvergenzkriterien auf Konvergenz.
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> MFG thadod
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 26.04.2009 | | Autor: | thadod |
Also gut.
Ich habe hierzu folgendes kennengelernt:
Notwendiges Konvergenzkriterium
Majorantenkriterium
Quotientenkriterium
Leibnizkriterium
Leibnizkriterium fällt aus. Da nicht alternierend.
Bei den anderen bin ich mir leider nicht 100% sicher wie ich sie anwenden kann.
Weiß nicht warum aber würde mich wahrscheinlich für das Quotientenkriterium entscheiden.
Hoffe ihr könnt mir hier nocheinmal helfen, dannach mache ich dan weiter.
MFG thadod
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Hallo nochmal,
> Also gut.
>
> Ich habe hierzu folgendes kennengelernt:
> Notwendiges Konvergenzkriterium
> Majorantenkriterium
> Quotientenkriterium
> Leibnizkriterium
>
> Leibnizkriterium fällt aus. Da nicht alternierend.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das würdest du nicht sagen, wenn du dir die Reihen für die Randpunkte mal hingeschrieben hättest - wie empfohlen:
Für [mm] $\red{x=1}$ [/mm] ist [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(\red{x}-2)^k}{k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(\red{1}-2)^k}{k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}$ [/mm] und das ist die alternierende harmonische Reihe, die entweder bekanntermaßen oder gem. Leibnizkriterium konvergent ist ..
Für $x=3$ hast du entsprechend [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] also eine lupenreine divergente harmonische Reihe ...
> Bei den anderen bin ich mir leider nicht 100% sicher wie
> ich sie anwenden kann.
> Weiß nicht warum aber würde mich wahrscheinlich für das
> Quotientenkriterium entscheiden.
>
> Hoffe ihr könnt mir hier nocheinmal helfen, dannach mache
> ich dan weiter.
>
> MFG thadod
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 So 26.04.2009 | | Autor: | thadod |
Ah okay.
Jetzt kapiere ich es endlich. habe das irgendwie nicht so ganz verstanden gehabt mit dem Einsetzen. Wollte wahrscheinlich nicht wahr haben, dass das
dann doch so einfach ist.
Ich danke dir vielmals für deine Hilfe.
MFG Thadod
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