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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich habe noch eine Aufgabe zur Konvergenz:
Man beweise: Eine Folge reeller Zahlen konvergiert dann und nur dann, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt.
Also, die "Hinrichtung" habe ich so gemacht:
Folge konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] Folge beschränkt und der Grenzwert ist der einzige Häufungspunkt (das steht so im Buch - muss ich das auch noch beweisen?)
Aber für die Rückrichtung habe ich leider keine Idee. :-( Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Nam |
Hi Bastiane,
der Beweis ist recht einfach, wenn man benutzen darf, dass der Limes Superior/Inferior grade der größte/kleinste Häufungswert ist. Andernfalls müsste man mal mit der Definition von Häufungswert und Lim Sup/Inf "rumspielen", da habe ich aber auch keine Idee parat.
Ansonsten würde ich es so machen:
[mm]\Rightarrow[/mm]
Sei [mm](a_n)_n[/mm] konvergent gegen [mm]a[/mm]. Dann ist die Folge natürlich auch beschränkt. Nun konvergiert aber auch jede Teilfolge [mm](a_{n_k})_k[/mm] auch gegen a, d. h. a ist ein Häufungswert - und zwar der einzige.
[mm]\Leftarrow[/mm]
Sei [mm](a_n)_n[/mm] beschränkt und a der einzige Häufungswert. Damit ist natürlich a auch der größte und der kleinste Häufungswert und es gilt:
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty}{\sup \; a_n} = \limes_{n \rightarrow \infty}{\inf \; a_n} = a \Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty}{a_n} = \limes_{n \rightarrow \infty}{\sup \; a_n} = \limes_{n \rightarrow \infty}{\inf \; a_n} = a[/mm]
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