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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Do 08.11.2012 | | Autor: | Paddi15 |
| Aufgabe | Grenzwert für [mm] (a_n)n€N:
[/mm]
[mm] a_n= [/mm] ((1+n)^42-n^42)/n^41 |
Kann mir bitte da jemand helfen wie ich auf den Grezwert 42 komme?
Danke im Voraus :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Do 08.11.2012 | | Autor: | Paddi15 |
Dies sollte mit dem binomischen Lehrsatz gelört werden und hier ist das Problem. Ich weiß schon wie er lautet usw., aber ich kann mit diesem nichts anfangen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Do 08.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Grenzwert für [mm](a_n)n€N:[/mm]
>
> [mm]a_n=[/mm] ((1+n)^42-n^42)/n^41
>
>
> Kann mir bitte da jemand helfen wie ich auf den Grezwert 42
> komme?
verwende
[mm] $$(1+n)^{42}=\sum_{k=0}^{42}{42 \choose k}n^k*1^{42-k}=\sum_{k=0}^{42}{42 \choose k}n^k=\big(\sum_{k=0}^{41}{42 \choose k}n^k\big)+{n \choose n}n^{42}=\big(\sum_{k=0}^{41}{42 \choose k}n^k\big)+n^{42}\,,$$
[/mm]
also den Tipp, den Du selbst in der Mitteilung erwähntest! Danach muss
man halt ein bisschen noch selbst denken und etwa Rechenregeln für
konvergente Folgen anwenden...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Do 08.11.2012 | | Autor: | Paddi15 |
| Aufgabe | -n^42)/n^41
wird dies dabei nicht verwendet? |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 08.11.2012 | | Autor: | abakus |
> -n^42)/n^41
> wird dies dabei nicht verwendet?
Natürlich wird das benötigt.
Aber bevor du von der Klammer [mm] $n^{42}$ [/mm] subtrahieren kannst, musst du die Klammer erst mal ausmultiplizieren.
Gruß Abakus
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Do 08.11.2012 | | Autor: | Paddi15 |
Und wie tue ich das? Ich steh komplett auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Do 08.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
>
> Und wie tue ich das? Ich steh komplett auf dem Schlauch.
setze dies
$$ [mm] (1+n)^{42}=\sum_{k=0}^{42}{42 \choose k}n^k\cdot{}1^{42-k}=\sum_{k=0}^{42}{42 \choose k}n^k=\big(\sum_{k=0}^{41}{42 \choose k}n^k\big)+{n \choose n}n^{42}=\big(\sum_{k=0}^{41}{42 \choose k}n^k\big)+n^{42}$$
[/mm]
in Deiner Aufgabe ein - ich habe es doch schon extra so umgeschrieben,
dass dann bei Deinem Bruch im Zähler [mm] $n^{42}-n^{42}=0$ [/mm] benutzt
werden kann.
Und jetzt mach' mal, also tue selber was rechnen. In der Fahrschule lernst
Du auch nicht Autofahren, indem Du Deinen Fahrlehrer fragst, wie fest er
an welchen Stellen auf die Bremse drückt...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Do 08.11.2012 | | Autor: | Paddi15 |
ok klar, aber wenn ich dies dann wieder zurück umforme, komm ich doch nicht auf (1+n)^41 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Do 08.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paddi!
> ok klar, aber wenn ich dies dann wieder zurück umforme,
> komm ich doch nicht auf (1+n)^41 oder?
Nein, warum auch?
Hast Du mal die ersten Summanden der binomischen Reihe hingeschrieben und schon etwas zusammengefasst?
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:36 Do 08.11.2012 | | Autor: | Paddi15 |
Ja habe ich gemacht und komme erstmal auf ein paar große Zahlen und zum Schluss komm ich dann bei 42 über 41 auf die 42.
D.h 42n^41, aber wie kann ich die vorherigen zusammenfassen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Do 08.11.2012 | | Autor: | Paddi15 |
Es geht ja nur bis 42 über 41.
Also 1+(42 1)n+(42 [mm] 2)2^2+........+(42 [/mm] 40)n^40+(42 41)n^41 und wie kann man dies jetzt zusammen fassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 08.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
>
> Es geht ja nur bis 42 über 41.
>
> Also 1+(42 1)n+(42 [mm]2)2^2+........+(42[/mm] 40)n^40+(42 41)n^41
> und wie kann man dies jetzt zusammen fassen?
meine Güte, soll ich Dir jetzt auch Brocken zuwerfen? Schreib' doch mal
ALLES hin:
Es war [mm] $a_n=((1+n)^{42}-n^{42})/n^{41}\,,$ [/mm] dann ist
[mm] $$a_n=\ldots=\frac{\sum_{k=0}^{41} {42 \choose k}n^k}{n^{41}}$$
[/mm]
Warum gebe ich Dir denn den Tipp, das so zu machen? Kreuze die
passende Antwort an:
a) Um Dich zu ärgern.
b) Weil MIR langweilig ist.
c) Um Dich zu beschäftigen - ich will, dass Du den Telefonjoker verbrauchst.
d) Weil er bei der Aufgabe hilft.
Und jetzt schreibe noch
[mm] $$=\sum_{k=0}^{41}\frac{ {42 \choose k}n^k}{n^{41}}$$ [/mm]
Und gegen was konvergiert nun [mm] $\overbrace{c_k}^{\text{von }n\text{ unabhängig!}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!*n^{k}/n^{41}$ [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] k < [mm] 41\,,$
[/mm]
$k [mm] \in \IN_0$ [/mm] bei [mm] $\red{n\;} \to \infty$?
[/mm]
Was ist mit einem solchen Ausdruck bei $k=41$ los? Und beachte: Da steht
eine Summe mit [mm] $42\,$ [/mm] Summanden, und die Anzahl der Summanden ist
[mm] $n\,$-unabhängig, [/mm] da sie konstant [mm] $=42\,$ [/mm] ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Do 08.11.2012 | | Autor: | Paddi15 |
Es konvergiert gegen 42 :)
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