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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Vidane |
| Aufgabe | Geben Sie eine Folge messbarer Funktionen $ [mm] f_{n} [/mm] :[0,1] [mm] \rightarrow [0,\infty), [/mm] n [mm] \in [/mm] IN $ an, für die
$$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n} [/mm] (x)dx = 0, $$
aber [mm] $\lim_{ n \rightarrow \infty} f_{n} [/mm] (x) = 0$ für kein $x [mm] \in [/mm] [0,1] $ gilt. |
Hey Leute,
ich bräuchte dringend einen Ansatz/Idee/Tipp für diese Aufgabe. Ich habe das Gefühl, dass ein solches fn gar nicht geben kann, aber das wäre ja nicht Sinn der Aufgabe.
Ich hatte schon diversen Ansätze, wie z.B. eine Funktion, die 0 ist für alle x in Q und 1 für alle x in IR ohne Q. Aber dann scheitert ja wider die Bedingung, dass der Limes von fn(x) für kein x Null sein darf.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
MfG,
Vidane
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie eine Folge messbarer Funktionen [mm]f_{n} :[0,1] \rightarrow [0,\infty), n \in IN[/mm]
> an, für die
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x)dx = 0,[/mm]
>
> aber [mm]\lim_{ n \rightarrow \infty} f_{n} (x) = 0[/mm] für kein [mm]x \in [0,1][/mm]
> gilt.
>
> Hey Leute,
> ich bräuchte dringend einen Ansatz/Idee/Tipp für diese
> Aufgabe. Ich habe das Gefühl, dass ein solches fn gar
> nicht geben kann, aber das wäre ja nicht Sinn der
> Aufgabe.
> Ich hatte schon diversen Ansätze, wie z.B. eine Funktion,
> die 0 ist für alle x in Q und 1 für alle x in IR ohne Q.
> Aber dann scheitert ja wider die Bedingung, dass der Limes
> von fn(x) für kein x Null sein darf.
>
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
> MfG,
> Vidane
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Da ich das für eine sehr schwere Aufgabe halte, will ich Dir ein Beispiel verraten:
Wir betrachten die Folge [mm] (I_n) [/mm] von Intervallen:
[mm] I_1=[0,1], I_2=[0,\bruch{1}{2}), I_3=[\bruch{1}{2},1]
[/mm]
[mm] I_4=[0,\bruch{1}{4}), I_5=[\bruch{1}{4}, \bruch{1}{2}), [/mm] ......
und setzen [mm] f_n:=1_{I_n} [/mm] (charakteristische Funktion des Intevalls [mm] I_n).
[/mm]
Zeige:
1. $ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n} [/mm] (x)dx = 0, $
und
2. ist x [mm] \in [/mm] [0,1], so ex. eine Teilfolge [mm] (f_{n_k}) [/mm] von [mm] (f_n) [/mm] mit:
[mm] f_{n_k}(x) \to [/mm] 1 ( k [mm] \to \infty)
[/mm]
FRED
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