Konvergenz/Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 So 17.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Bestimmen sie ob die Reihe konvergent oder divergent ist.
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-n}{n^2}$ [/mm] |
Ich habe hier das notwendige Kriterium als erste gemacht:
[mm] $\lim_{n \to \infty} A_n [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{1-n}{n^2} [/mm] = ... = [mm] \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n} \right) [/mm] = 0
Somit wäre nach dem notwendigen Kriterium die Reihe konvergent. In meiner Lösung steht, aber dass man das mit dem Vergleichskriterium machen soll. An was erkennt man das, wann man das Vergleichskriterium einsetzt?
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Hallo bandchef,
> Bestimmen sie ob die Reihe konvergent oder divergent ist.
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> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-n}{n^2}[/mm]
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> Ich habe hier das notwendige Kriterium als erste gemacht:
>
> [mm]$\lim_{n \to \infty} A_n[/mm] = [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{1-n}{n^2}[/mm]
> = ... = [mm]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n} \right)[/mm]
> = 0
>
> Somit wäre nach dem notwendigen Kriterium die Reihe
> konvergent.
Oops. Das wirst Du niemals mit dem sog. Trivialkriterium feststellen können. Es dient allein dazu, einige offensichtlich divergente Reihen zu identifizieren, bevor man schwerere Geschütze auffährt. Ist die zu summierende Folge keine Nullfolge, kann die Reihe nicht konvergent sein.
Das heißt aber eben nicht, dass die Reihe konvergent ist, bloß weil die zu summierende Folge eine Nullfolge ist - dies wäre eine logische Umkehrung der Aussage. Logisch äquivalent ist nur diese Aussage: wenn die Reihe konvergent ist, ist die zu summierende Folge eine Nullfolge.
> In meiner Lösung steht, aber dass man das mit
> dem Vergleichskriterium machen soll. An was erkennt man
> das, wann man das Vergleichskriterium einsetzt?
Um ehrlich zu sein, erkennt man das nur mit einiger Übung. Deswegen sollst Du ja Übungsaufgaben machen. 
Ich würde erst einmal das ganze mit -1 multiplizieren; für die meisten ist das Rechnen mit positiven Zahlen weniger fehleranfällig...
Für die Konvergenz der Reihe hat das natürlich keine Auswirkung.
Und dann erinnert [mm] \bruch{n-1}{n^2} [/mm] doch schon sehr an [mm] \bruch{n-1}{n^2-1}. [/mm] Damit würde ich mal vergleichen und zuvor die 3. binomische Formel heranziehen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 So 17.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Zerlege die Reihe in zwei Reihen und betrachte diese separat:
[mm]\sum_{\red{n}=1}^{\infty} \frac{1-n}{n^2} \ = \ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n^2}-\frac{n}{n^2}\right) \ = \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Kann man das wirklich so machen ?
Man untersucht eine unendliche Reihe auf Konvergenz und untersucht die Bestandteile ? Man könnte doch auch eine alternierende Reihe (nach Leipnitz) nehmen, die sogar absolut konvergiert, ihre Partialsummen dann aber divergieren. Oder liege ich auf dem Schlauch ?
MfG
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Nachdem ich brav mein Skript rausgekramt und den Satz dazu nachgelesen habe noch ein wenig Fachgesimpel um den Zweifel zu untermauern.^^
Es gilt ja:
Sind [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} a_k, \summe_{k=1}^{\infty} b_k$ [/mm] zwei konvergente Reihen so ist auch [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} (a_k+ b_k)$ [/mm] konvergent.
Die Umkehrung ist aber i.A. falsch (wähle [mm] $(a_n)$ [/mm] so, dass die zugehörige Reihe divergiert - setze [mm] $(b_n) [/mm] = [mm] -(a_n)$).
[/mm]
Das heißt mit der Zerlegung oben ist doch einzig gezeigt: Wenn die beiden Partialsummen konvergieren konvergiert auch die Gesamtsumme.
Da dies allerdings nicht der Fall ist (harmonische Reihe) ist doch mit der Zerlegung in die Partialsummen absolut nichts gezeigt, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Genau so hatte ich es auch in Erinnerung. Verwechsel ich gerne mal mit der absoluten Konvergenz. Es gilt :
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] $und$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_k$ [/mm] konv [mm] $\Rightarrow\summe_{k=1}^{\infty} (a_k+ b_k)$ [/mm] konvergent.
Keine "Genau, dann" Bedingung, sodass man auf nichts schließen kann,
wenn die Partialsummen konvergieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 17.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Kann man das wirklich so machen ?
Nein, so kann man das nicht machen ! Auch das Gleichheitszeichen ist falsch.
Weiteres Beispiel:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n}) [/mm] ist konvergent.
Und damit ist natürlich
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n})\ne \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}-\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
FRED
> Man untersucht eine unendliche Reihe auf Konvergenz und
> untersucht die Bestandteile ? Man könnte doch auch eine
> alternierende Reihe (nach Leipnitz) nehmen, die sogar
> absolut konvergiert, ihre Partialsummen dann aber
> divergieren. Oder liege ich auf dem Schlauch ?
>
> MfG
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