Konvergenz & Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 So 02.02.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Für [mm] k\in\IN [/mm] sei [mm] a_{k}:= (\bruch{1}{2})^k [/mm] , [mm] b_{k}:= (\bruch{1}{3})^k, [/mm] sowie [mm] c_{k}:=\begin{cases} a_{\bruch{k+1}{2}} & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ a_{\bruch{k}{2}}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}.
[/mm]
Wir betrachten die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}c_{k} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2^2}+\bruch{1}{3^2}+...).
[/mm]
(1) Zeigen Sie dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}c_{k} [/mm] konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
(2) Zeigen Sie, dass die Grenzwerte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|c_{k}|} [/mm] und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{|c_{k+1}|}{|c_{k}|} [/mm] nicht existieren.
Bestimmen Sie weiter die Werte [mm] lim\sup_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|c_{k}|} [/mm] und [mm] lim\sup_{k\rightarrow\infty} \bruch{|c_{k+1}|}{|c_{k}|}. [/mm] |
Hallo erstmal.
Ich habe ein Problem mit dem 2. Teil dieser Aufgabe. Und zwar habe ich im ersten Teil der Aufgabe ja bereits gezeigt, dass die [mm] Reihe\summe_{k=1}^{\infty}c_{k} [/mm] sich auch so schreiben lässt: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k}. [/mm] Hiermit habe ich nun für beide Reihen nachgewiesen, dass sie konvergent sind und ihr Grenzwert mit Hilfe der geometrischen Reihe [mm] (\bruch{1}{1-x}) [/mm] einmal 2 für [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k} [/mm] und [mm] \bruch{3}{2} [/mm] für [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k} [/mm] und insgesamt für [mm] \summe_{k=1}^{\infty}c_{k} [/mm] dann also [mm] \bruch{7}{2}.
[/mm]
Nun ist mir allerdings nicht ganz klar, was ich im 2. Teil der Aufgabe zeigen soll. Sowohl mit dem Wurzelkriterium, als auch mit dem Quotientenkriterium bekomme ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] heraus, was mir allerdings ja nur zeigt, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}c_{k} [/mm] insgesamt konvergiert. Wie kann ich nun aber zeigen, dass der die lim nicht existieren. Und wie kann ich dann noch die limsup Werte bestimmen?
Ich hoffe, mir kann da jemand ein paar Tipps bzw. Hinweise dazu geben!
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
|
|
| |
|
Hallo Petrit,
da hast Du ja schon einige Vorarbeit geleistet.
> Für [mm]k\in\IN[/mm] sei [mm]a_{k}:= (\bruch{1}{2})^k[/mm] , [mm]b_{k}:= (\bruch{1}{3})^k,[/mm]
> sowie [mm]c_{k}:=\begin{cases} a_{\bruch{k+1}{2}} & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ a_{\bruch{k}{2}}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}.[/mm]
Für gerade k müsste da doch [mm] b_{k/2} [/mm] stehen.
> Wir betrachten die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}c_{k}[/mm] =
> [mm](\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2^2}+\bruch{1}{3^2}+...).[/mm]
>
> (1) Zeigen Sie dass die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}c_{k}[/mm]
> konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
> (2) Zeigen Sie, dass die Grenzwerte
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|c_{k}|}[/mm] und
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{|c_{k+1}|}{|c_{k}|}[/mm]
> nicht existieren.
> Bestimmen Sie weiter die Werte
> [mm]lim\sup_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|c_{k}|}[/mm] und
> [mm]lim\sup_{k\rightarrow\infty} \bruch{|c_{k+1}|}{|c_{k}|}.[/mm]
>
> Hallo erstmal.
> Ich habe ein Problem mit dem 2. Teil dieser Aufgabe. Und
> zwar habe ich im ersten Teil der Aufgabe ja bereits
> gezeigt, dass die [mm]Reihe\summe_{k=1}^{\infty}c_{k}[/mm] sich auch
> so schreiben lässt: [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k}.[/mm] Hiermit habe ich nun
> für beide Reihen nachgewiesen, dass sie konvergent sind
> und ihr Grenzwert mit Hilfe der geometrischen Reihe
> [mm](\bruch{1}{1-x})[/mm] einmal 2 für [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k}[/mm]
> und [mm]\bruch{3}{2}[/mm] für [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k}[/mm]
> und insgesamt für [mm]\summe_{k=1}^{\infty}c_{k}[/mm] dann also
> [mm]\bruch{7}{2}.[/mm]
Fast gut. Du hast nur übersehen, dass die beiden Teilreihen nicht mit einer 1 beginnen - das müssten sie aber, damit Deine Berechnung stimmt. Entweder Du setzt nun [mm] a_0=\tfrac{1}{2} [/mm] und [mm] b_0=\tfrac{1}{3}, [/mm] oder Du rechnest die in den Summenformeln berücksichtigten Einsen heraus - in jedem Fall konvergiert die betrachtete gesamte Reihe "nur" gegen [mm] \br{3}{2}.
[/mm]
> Nun ist mir allerdings nicht ganz klar, was ich im 2. Teil
> der Aufgabe zeigen soll. Sowohl mit dem Wurzelkriterium,
> als auch mit dem Quotientenkriterium
Die kannst Du gar nicht anwenden, weil ja nur noch die Folge [mm] (c_k)_{k\in\IN} [/mm] betrachtet werden soll. Allerdings hast Du Recht: die beiden Grenzwerte sind natürlich genau die, die man beim Wurzel- bzw. Quotientenkriterium betrachtet.
> bekomme ich
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] heraus,
Das sollte nicht so sein. Betrachte die beiden Teilfolgen [mm] (a_k)_k [/mm] mit [mm] a_k=c_{2k-1} [/mm] und [mm] (b_k)_k [/mm] mit [mm] b_k=c_{2k} [/mm] mal getrennt voneinander. Dann bekommst Du auch verschiedene Grenzwerte. Die Gesamtfolge [mm] (c_k)_k [/mm] ist also divergent. Um konvergent zu sein, müsste ja jede Teilfolge gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.
> was mir allerdings ja nur zeigt, dass
> die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}c_{k}[/mm] insgesamt konvergiert.
> Wie kann ich nun aber zeigen, dass der die lim nicht
> existieren.
Siehe oben.
> Und wie kann ich dann noch die limsup Werte
> bestimmen?
Das sollte jetzt leicht fallen. Du musst ja nur noch entscheiden, welcher der Teilfolgen-Grenzwerte größer ist. 
> Ich hoffe, mir kann da jemand ein paar Tipps bzw. Hinweise
> dazu geben!
>
> Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 02.02.2014 | | Autor: | Petrit |
Erstmal super, danke.
Das mit dem Grenzwert der Reihe habe ich nun verstanden. Mir ist nur nicht ganz klar, warum ich die getrennen Teilfolgen betrachten soll? Könntest du mir das vielleicht nochmal erklären? Ich habe nun aber mal jeweils die beiden Teilfolgen getrennt voneinander betrachtet und für gerade k habe ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und für ungerade k [mm] \bruch{1}{3} [/mm] sowohl für das Wurzel- als auch für das Quotientenkriterium raus. Somit müsste mein limsup [mm] \bruch{1}{2} [/mm] für beide Kriterien sein.
Gruß, Petrit!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Erstmal super, danke.
> Das mit dem Grenzwert der Reihe habe ich nun verstanden.
> Mir ist nur nicht ganz klar, warum ich die getrennen
> Teilfolgen betrachten soll? Könntest du mir das vielleicht
> nochmal erklären?
Na, weil sie so auf dem Silbertablett daliegen und man ja schon ohne Rechnung die Vermutung hat, dass die Wurzel- und Divisionsrechnungen gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren - so etwas sollte man immer nachgehen.
> Ich habe nun aber mal jeweils die beiden
> Teilfolgen getrennt voneinander betrachtet und für gerade
> k habe ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und für ungerade k [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> sowohl für das Wurzel- als auch für das
> Quotientenkriterium raus. Somit müsste mein limsup
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] für beide Kriterien sein.
Richtig.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 So 02.02.2014 | | Autor: | Petrit |
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 So 02.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi, Reverend,
ich glaube, dass du hier was verwechselt hast.
>
> Die kannst Du gar nicht anwenden, weil ja nur noch die
> Folge [mm](c_k)_{k\in\IN}[/mm] betrachtet werden soll. Allerdings
> hast Du Recht: die beiden Grenzwerte sind natürlich genau
> die, die man beim Wurzel- bzw. Quotientenkriterium
> betrachtet.
>
> > bekomme ich
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] heraus,
>
> Das sollte nicht so sein. Betrachte die beiden Teilfolgen
> [mm](a_k)_k[/mm] mit [mm]a_k=c_{2k-1}[/mm] und [mm](b_k)_k[/mm] mit [mm]b_k=c_{2k}[/mm] mal
> getrennt voneinander. Dann bekommst Du auch verschiedene
> Grenzwerte. Die Gesamtfolge [mm](c_k)_k[/mm] ist also divergent. Um
> konvergent zu sein, müsste ja jede Teilfolge gegen den
> gleichen Grenzwert konvergieren.
>
Selbstverständlich konvergiert jede Teilfolge von [mm] (c_k) [/mm] gegen Null, die ganze Folge [mm] (c_k) [/mm] konvergiert gegen Null, sonst hätte ihre Reihe nicht den Wert 1,5.
Es sind die Folgen [mm] \bruch{c_{k+1}}{c_k} [/mm] und [mm] \wurzel[k]{c_k} [/mm] zu betrachten, für deren Grenzverhalten gilt etwas ganz anderes, auch etwas anderes als der Fragesteller angibt.
Vielleicht schaust du dir auch noch mal deinen zweiten Beitrag unter diesem Gesichtspunkt an.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Mo 03.02.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Sax,
Du hast vollkommen Recht. Ich melde mich morgen früh mit der nötigen Korrektur - jetzt bin ich zu müde und würde wahrscheinlich eher Fehler vermehren...
Danke und liebe Grüße
reverend
|
|
|
|
