Konvergenz/ Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Do 13.12.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Wir setzten
[mm] A:=\{a \in \IR : \mbox{ es gibt eine Teilfolge (a_n__k)_k_\in_\IN }\mbox{ mit a_n__k } \mbox{ \to a}\}
[/mm]
Zeigen Sie: (a) A ist abgeschlossen, d.h. A enthält alle seine Häufungspunkte
(b) Ist a = [mm] \{p\} [/mm] eine Menge it genau einem Element, so ist [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] konvergent und [mm] a_n \to [/mm] p
(c) [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] ist konvergent genau dann, wenn [mm] \limes [/mm] inf [mm] _{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes [/mm] sup [mm] _{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] |
Hi,
Zu (a) reicht es, wenn ich da sage, dass a genau dann Häufungspunkt von A ist, wenn a Grenzwert einer Teilfolge von a ist, und dass ja alle Teilfolgen von A gegen a konvergieren und somit alle Häufungspunkte in A liegen, denn A ist ja gerade die Menge aller a, für die die Teilfolge gegen a konvergiert??
oder fehlt da noch was??
Vielen Dank
Gruß Smex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm](a_n)_n_\in_\IN[/mm] eine beschränkte Folge reeller Zahlen.
> Wir setzten
>
> [mm]A:=\{a \in \IR : \mbox{ es gibt eine Teilfolge (a_n__k)_k_\in_\IN }\mbox{ mit a_n__k } \mbox{ \to a}\}[/mm]
>
> Zeigen Sie: (a) A ist abgeschlossen, d.h. A enthält alle
> seine Häufungspunkte
>
> (b) Ist a = [mm]\{p\}[/mm] eine Menge it genau einem Element, so
> ist [mm](a_n)_n_\in_\IN[/mm] konvergent und [mm]a_n \to[/mm] p
>
> (c) [mm](a_n)_n_\in_\IN[/mm] ist konvergent genau dann, wenn [mm]\limes[/mm]
> inf [mm]_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\limes[/mm] sup
> [mm]_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]
> Hi,
>
> Zu (a) reicht es, wenn ich da sage, dass a genau dann
> Häufungspunkt von A ist, wenn a Grenzwert einer Teilfolge
> von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist,
Dies genügt schon: denn dann folgt, dass $a$ in $A$ liegt.
Der folgende Zusatz:
> und dass ja alle Teilfolgen von A gegen a
> konvergieren und somit alle Häufungspunkte in A liegen,
> denn A ist ja gerade die Menge aller a, für die die
> Teilfolge gegen a konvergiert??
ist also überflüssig.
An Deiner Stelle würde ich so vorgehen: Sei $a$ ein Häufungspunkt von $A$. Zu zeigen: dann gibt es eine gegen $a$ konvergente Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$, [/mm] woraus sogleich [mm] $a\in [/mm] A$ folgt, was zu zeigen war.
Zu (b): Wäre [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] nicht gegen $p$ konvergent, so gäbe es (wegen der vorausgesetzten Beschränktheit) eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$, [/mm] die gegen einen Wert [mm] $\neq [/mm] p$ konvergieren würde: im Widerspruch zur Voraussetzung, dass [mm] $A=\{p\}$.
[/mm]
Zu (c): wende zum Beweis (b) an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 13.12.2007 | | Autor: | Smex |
zu (b): Es fehlt noch zu beweisen, dass [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] überhaupt konvergent ist. Ich habe jetzt folgendermaßen überlegt: Da [mm] a_n [/mm] beschränkt ist, hat sie auch einen Häufungspunkt, d.h. sie hat auch eine Teilfolge, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert. Da A alle seine HP enthält (Beweis in (a)) muss auch der HP von [mm] a_n [/mm] in A liegen, da A nur p enthält, muss der HP von [mm] a_n [/mm] = p sein. Aber wie komme ich jetzt darauf, dass nicht nur die Teilfolge, sondern auch die Folge gegen p konvergiert??
zu (c): Ich kann hier doch einfach sagen, dass lim sup [mm] a_n [/mm] = lim inf [mm] a_n [/mm] bedeutet, dass a_ nur einen Häufungspunkt hat. Es gilt ja, dass eine konvergente Folge genau ihren Häufungspunkt als Grenzwert hat. d.h. [mm] a_n [/mm] kann nur dann konvergieren, wenn sie nur einen Häufungspunkt hat. Und daraus folgt ja dann, dass lim sup [mm] a_n [/mm] = lim inf [mm] a_n.
[/mm]
Gruß Smex
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> zu (b): Es fehlt noch zu beweisen, dass [mm](a_n)_n_\in_\IN[/mm]
> überhaupt konvergent ist. Ich habe jetzt folgendermaßen
> überlegt: Da [mm]a_n[/mm] beschränkt ist, hat sie auch einen
> Häufungspunkt, d.h. sie hat auch eine Teilfolge, die gegen
> diesen Häufungspunkt konvergiert. Da A alle seine HP
> enthält (Beweis in (a)) muss auch der HP von [mm]a_n[/mm] in A
> liegen, da A nur p enthält, muss der HP von [mm]a_n[/mm] = p sein.
> Aber wie komme ich jetzt darauf, dass nicht nur die
> Teilfolge, sondern auch die Folge gegen p konvergiert??
Würde die Folge nicht gegen $p$ konvergieren, so gäbe es eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $p$, ausserhalb derer unendlich viele Glieder der Folge [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] liegen. Also gäbe es eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$, [/mm] die gegen einen Wert [mm] $\neq [/mm] p$ konvergiert, im Widerspruch zur Annahme, dass [mm] $A=\{p\}$.
[/mm]
>
> zu (c): Ich kann hier doch einfach sagen, dass lim sup [mm]a_n[/mm]
> = lim inf [mm]a_n[/mm] bedeutet, dass a_ nur einen Häufungspunkt
> hat.
Allgemein gilt: [mm] $\lim\inf_{n\in\IN} a_n$ [/mm] und [mm] $\lim\sup_{n\in\IN} a_n$ [/mm] sind Häufungspunkte der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$. [/mm] Aus [mm] $\lim\inf_{n\in\IN} a_n=\lim\sup_{n\in\IN} a_n [/mm] =: p$ folgt, dass die Voraussetzung von (b) erfüllt ist (denn ein Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] kann nicht kleiner als [mm] $\lim\inf_{n\in\IN} a_n$ [/mm] und nicht grösser als [mm] $\lim\sup_{n\in\IN} a_n$ [/mm] sein) und somit die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen diesen Wert $p$ konvergiert.
> Es gilt ja, dass eine konvergente Folge genau ihren
> Häufungspunkt als Grenzwert hat. d.h. [mm]a_n[/mm] kann nur dann
> konvergieren, wenn sie nur einen Häufungspunkt hat. Und
> daraus folgt ja dann, dass lim sup [mm]a_n[/mm] = lim inf [mm]a_n.[/mm]
Dass [mm] $\lim\inf_{n\in\IN} a_n=\lim\sup_{n\in\IN} a_n$ [/mm] gilt, musst Du gar nicht beweisen: denn dies ist die Voraussetzung dessen, was Du beweisen musst!
Nachtrag (Revision 2): Falsch: hier war mir die ursprüngliche Aufgabenstellung nicht mehr gegenwärtig (was übrigens auf ein Problem mit diesem Forum hinweist: beim Editieren einer Antwort hat man keinen unmittelbaren Zugriff auf die *ganze* Vorgeschichte der Diskussion - nur gerade auf die Frage, auf die man antwortet).
Die umgekehrte Implikation, von Konvergenz von [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] auf [mm] $\lim\inf_{n\in\IN} a_n=\lim\sup_{n\in\IN} a_n$ [/mm] ist einigermassen trivial. Deine Formulierung hatte einfach kaum zwischen dem Beweis der einen und dem Beweis der anderen Richtung der Implikation unterschieden, so dass ich glaubte, Du hättest die Beweise der beiden Implikationsrichtungen kurzerhand mit einander vermischt.
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