Konvergenz Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Di 05.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Untersuchen Sie ob das Integral konvergiert.
[mm] \integral_{4}^{\infty}{\bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} dx} [/mm] |
Hallo, ich suche eine konvergente Majorante zu $ f(x)= [mm] \bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} [/mm] $ . Das heißt, ich darf den Nenner verkleinern und den Zähler vergrößern.
[mm] \bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} < \bruch{7+1}{x^2-4x+5-1} = \bruch{8}{x^2-4x+4} = \bruch{8}{(x-2)^2} \le \bruch{8}{(x-\bruch{1}{2}x)^2} = \bruch{8}{\bruch{1}{4}x^2} = \bruch{32}{x^2} [/mm]
Also ist [mm] \integral_{4}^{\infty}{\bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} dx} < 32\integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx} [/mm]
Die linke Seite konvergiert, da auch die rechte konvergiert.
Stimmt das so?
thx :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Di 05.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Untersuchen Sie ob das Integral konvergiert.
>
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} dx}[/mm]
>
> Hallo, ich suche eine konvergente Majorante zu [mm]f(x)= \bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}}[/mm]
> . Das heißt, ich darf den Nenner verkleinern und den
> Zähler vergrößern.
Korrekt
>
> [mm]\bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} < \bruch{7+1}{x^2-4x+5-1} = \bruch{8}{x^2-4x+4} = \bruch{8}{(x-2)^2} \le \bruch{8}{(x-\bruch{1}{2}x)^2} = \bruch{8}{\bruch{1}{4}x^2} = \bruch{32}{x^2}[/mm]
>
> Also ist
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} dx} < 32\integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}[/mm]
>
> Die linke Seite konvergiert, da auch die rechte
> konvergiert.
Ja
>
> Stimmt das so?
Den Schritt
[mm] \bruch{8}{(x-2)^2} \le \bruch{8}{(x-\bruch{1}{2}x)^2}
[/mm]
solltest du noch ein wenig begründen, das gilt nämlich nicht zwingend.
>
> thx :)
>
Marius
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Hallo Barney,
> Untersuchen Sie ob das Integral konvergiert.
>
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} dx}[/mm]
>
> Hallo, ich suche eine konvergente Majorante zu [mm]f(x)= \bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}}[/mm]
> . Das heißt, ich darf den Nenner verkleinern und den
> Zähler vergrößern.
>
> [mm]\bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} < \bruch{7+1}{x^2-4x+5-1} = \bruch{8}{x^2-4x+4} = \bruch{8}{(x-2)^2}
\le \bruch{8}{(x-\bruch{1}{2}x)^2} = \bruch{8}{\bruch{1}{4}x^2} = \bruch{32}{x^2}[/mm]
[mm] \bruch{8}{(x-2)^2} [/mm] reicht doch völlig als Abschätzung.
> Also ist
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{7+sin^2(x)}{x^2-4x+5-e^{-x}} dx} < 32\integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}[/mm]
>
> Die linke Seite konvergiert, da auch die rechte
> konvergiert.
>
> Stimmt das so?
Ja, und es würde auch noch stimmen, wenn Du vorher abbrichst, wie oben empfohlen.
Grüße
reverend
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